CAEUKGIE INSTITUTE 0* TECHNOtOGY

THE

(EUVRES

HENRI POINCARE

PAKIS. - IMPRIMERIE GAUTHIER-V1LLARS

Quai des Grands- August ins, 55

138265

(EUVRES

DK

HENRI POINCARE

PUBLIEES

SOUS LES AUSPICES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES

PAK

LA SECTION DE GEOMETRIE

TOME VII

PUBLIC AVEC LA COLLABORATION

DK JACQUES LEVY

ASTRONOME A I/OBSBRVATOIRE DB PARIS

PARIS

GAUTHIER-YILLARS, EDITEUR

LIBRAIRE DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ECOLE POLYTECHNIQUE Quai des Grands-Augustins, 55

l»«OPEflTV Or

CARNEfilE INSTITUTE OF TECHNOinfit

Copyright by Gauthier-Villars, 1962. Tons drolls do tradnction, de reproduction et d'adaptation reserves pour tows pays.

MECANIQUE CELESTE

ET

ASTRONOMIE

AVANT-PROPOS

JLa quatrieme Section des OEuvres de Henri Poincare, qui comprend les Tomes VII et VIII, groupe ceux des Memoires qui traitent princi- palernent de Mecanique analytique, de Mecanique celeste et d'Astro- nomie. II est fait constamment appel dans ces Memoires a des travaux d'Algebre et d' Analyse figurant dans les Sections precedentes, notam- ment sur les courbes definies par les equations differentielles et sur les series trigonometriques, qu'on trouvera dans les Tomes I et IV des OEuvj-e$. Inversement, le present Tome contient, entre autres? les theories des coefficients de stabilite, des formes de bifurcation, des equations aux variations^ des invariants integraux, des proprietes des solutions de 1'equation de Mathieu. Le caractere d'unite qu'offre 1'oeuvre de Henri Poincare, qui se traduit par exemple par la resolution d'un probleme du Galcul des variations au moyen de considerations empruntees a Tfilectrostatique, ainsi qu'on le verra plus loin, rendait impossible une nette delimitation des differentes Sections.

J. L.

ANALYSE

DE SES

TRAVAUX SCIENTIFIQUES

FAITE PAR HENRI POINCARfi (').

Acta Mathematica^ t. 38, p. io4-n4 (1921).

MECANIQTJE CELESTE.

XVII. — G-eneralites sur les equations de la I>ynamiq;ue et de la Mecanique celeste [164, 1,66, 183, 187, 278, 280].

Les equations de la Dyaaraique presentent des proprietes remarquables qui oat et6 aiises en eVideace par Jacobi daas ses Vorlesungen.

Quelles soat les coas^queaces plus ou aioias immediates de ces proprietes? Quel parti peut-oa ea tirer pour la mise ea equaiioa des problemes de Dyaa- mique et ea particulier des problemes de Mecaaique celeste? Telie est la premiere questioa doat je veux parler ici.

J'ai et^ amea^ a passer ea revue les priacipales proprietes des equatioas caaoaiques [183, 278], Les proprietes soat classiques; et je ajai eu qu'a perfec- tioaaer certaias details; ea me servaat surtout du caractere biea conau qui

(!) On n'a reproduit ici que les extraits de cette Analyse qui concernent les matieres trait6es dans le pr6sent Volume. Les Memoires figurent sous les num6ros qu'ils portent dans la biblio- graphic qui suit 1'Analyse. ( J. L.) H. F, — VII.

2 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

permet de reconnaitre si un changement de variables conserve la forme canonique des Equations.

Ge genre de transformations facilile la rnise en equation (hi probleme des trois corps; c'esl ce que j'ai montnS [104, 187], On sait que dans le proc<kl6 classique on rapporte toutes les planetes a des axes mobiles passant par le Soleil U inconvenient est que la fonction perlurbalrice n'csl pas la mejnie pour loutes les planetes. Un autre procede consiste a rapporier chaque planele au centre de gravity du sysleme forme par le Soleil et toutes les planetes infth'ieures u cello que Fon considere. L'inconvinicnt est evite, mats la function perturbatrice ost un peu plus compliqude. J'ai propose'* un troisieme procdde, dans leqnol les coordonnees de chaque planele sonl rapporUtes au Soleil, et sa vilosse a des axes fixes.

Malgr6 les travaux dont les cSquations cnnoniques out tk($ Pobjel tlepuis Jacobi, toutes leurs propri^t(5s ne sont pas connues, ou plutot on n'a pnsinsisU11 sur toutes les formes que peuvent revetir ces propridt<Ss et qu'il pent cHre utile de connaitro. Si par cxemple on (Hudie les equations aux varialions des 6<|ua- tions de la Dynamique, c'est-i\-dire les Equations qui d^fmissenl une solution infmiment peu diff^rente d?une solution donnie, on rencontre des propositions importantes sur lesquelles j'ai attir<5 1'attention [183, 278].

D'un autre c6t6, j'ai <it6 amen^ a introduire une notion nouvclle, celle des invariants int^graux [183, 280]. Ce sont cerlaines inldgrales definies simples ou multiples qui demeurent constanles, quand le champ d'inUigration varieconfor- m^ment & une certaine loi d6finie par une Equation diiFdrentielle. Si par exemple on envisage les Equations difl^rentielles relatives an mouvemonl d'un fluide incompressible, le volume est un invariant integral.

Les Equations canoniques de la Dynamique posscclent des invariants int<5* graux remarquables et Fexistence de ces invariants jelte une grandelumicre sur leurs propri6t(is.

Pour en fmir avec ces g<kitedit£s sur les 6quations de la Djnamique et le probleme des trois corps; je signalerai un dernier travail [1C6], On sait que Bruns a d6montr6 que le probldme des trois corps ne saurait admellre d'autre integrate alg^brique que les integrates classiques. Malheureusement dans sa demonstration subsistait une lacune grave et particuli&rerjoent delicate ^ combler. J'ai <H6 assez heureux pour mettre la belle eting^nieuse demonstration de M. Bruns a Fabri de toute objection.

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENT1FIQUES. 3

XVIII. — Probleme des trois corps; proprietes qualitatives [38, 92, 163, 167, 183. 204, 278, 280].

Ge qui va suivre est le d6veloppement naturel des m^thodes dont il a 6t6 question plus haul au paragraphs V et leur application a la M6canique celeste.

J'ai montr£ de diverses manieres [183, 278] qu'en dehors des integrates classiques le probleme des trois corps n'admet pas d'int^grale analytique et uniforme, et il en r^sulterait que la plupart des series proposes jusqu'ici pour I'mtdgration de ce probleme, de m6aie que celles dont il sera question dans le paragraphs suivant ne sont pas convergentes et ne peuvent £tre utilisees que dans un calcul approche.

D'apres ce qui. precede, il semble qu'il soit impossible en g^n^ral d'exprimer les distances mutuelles des aslres par des series purement trigonom^triques convergentes. Mais il est des cas particuliers ou les series auxquelles on est conduit ne contiennent qu'un seal argument et ou leur convergence est 6vi- dente. En effet, j'ai d£montr6 [38, 92] que, dans le probleme des Irois corps. on peut choisir les elements initiaux du mouvement de telle fagon que les distances mutuelles des trois masses soient des fonctions p^riodiques du temps. On est atnsi atnen^ a une solution particuliere du probleme, que Ton peut

Ges solutions p^riodiques sonl de trois sortes : dans les unes,les inclinaisons sont nulles et les excenlricit^s tres petites; dans d'autres, les inclinaisons sont nulles et les excentricit^s finies; dans d'autres, enjEin. les inclinaisons sontfinies et les excentricit^s tres petites.

Je suis revenu [183, 278] sur ces solutions p^riodiques et je les ai 6tudi6es en detail. Les proc^d^s dont je me suis servi pour demontrer leur existence sont tres simples et se ramenent au calcul des limites.

Mais on peut arriver a cetle demonstration par une voie toute difF6rente, qu'il pourra ^tre souvent utile d'adopter, mais dont je n'ai pas encore tir£ tout le parti possible. Supposons par exemple que Ton recherche les gdtfd^siques d?une surface ind^finie pr^sentant la meme forme g6n6rale qu'un hyperboloi'de & une nappe. On sera certain alors qu'il doit y avoir une g^od^sique ferm^e (correspondant it une solution p^riodique) parce que., parmi toutes les courbes ferm^es que Ton peut tracer sur la surface et qui en font le tour, il doit y en, avoir une qui est plus c<^urte que toutes les autres.

4 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

Les monies principes soni suseeptibles dYire appliques a divers problemes de Mdcanique, grace au principe do moindre action que I'on pout employer soil sous la forme quo lui a donnde Hamilton, soil sous colic quo lui a donnde Mauperluis. Je n'ai fail qu'esquisser cello melhode donl il y a sans doute encore beaucoup «\ tirer.

Outre les solutions pdriodiqucs, les equations dn problems des Irois corps admettent aussi d'aulres solutions remarquables quo j'appelle asympto- tiques [183, £78]. Ge qui characterise ces solutions nVst qu'elles se rapproelienl ind^fimment d'une solution p<5riodique, ou bien qu'elles s'^loignent sans ee.sst^ d'une solution piiriodique donl elles sonl infiniment rapproch^es pour I ^ — cc.

D'aulres soluuons remarquables sont plus difiiciles encore aaperouvoir |t!80]. Je citerai d'abord les solutions ptfriodiques de d<juxiem<^ espece, caraeltf»ristVs par ce fait que deux ties corps so rapproclit»nl periodiqueinenl de larou a presque se chequer.

Nous avons encore les solutions pcVriodiques de deuxienie genre; si Ton fait varier d'une maniere continue un des pararneires dont d<Spcn<l le probUine} par example Tune des inasseSj on voit une solution p^riodique du premier genre se ddformer d'une fa^on continue, sa p^riode re.stanl <*»gale A T. A un certain moment, cette solution se dddouble pour ainsi dire, ou plulAt se d^triple, je veux dire qu?^ un certain moment on a trois solutions p^riodiques ires pen diff^rentcs ; Tune d'elles a encore pour p6riode T, les deux autres out pour p<$rtode un multiple de T, Ce sont les solutions p<Sriodiques du dtixixiewiegonro.

Je parlerai eniin des solutions doublemenl asjmptotiques. Four /r,: -co, elles sont infimmeat voisiues d'une solution ptf*riodique, puis elles s^en ('*loignent beaucoup, ensuite elles sjen rapprocbent de nouveau, de telle sorte (jtie pour £ = -)- oo, elles en sont encore mfimment voisines.

Pour (kudier les propriit^s et les rapports de ces difiVrcnics solutions, je me suis scrvi des invariants intdgraux* Ces rapports sont triis compliqu^s, de sorte que ccttc (^.tude est 6miiiemmout pro pro a laeitrc en cividence la difficult^ du probldme des trois corps,

Je n*ai pu r^soudre rigoureusement et cornpkHement le probl^me de la stabi- Iit6 du syst&me solaire, en entendant ce mot dans un sens strictement malhd* matique. LJemploi des invariants int^graux m*a ccpendant pcrmis [183, 280] d'atteindre certains r^sultats partiels, s'appliquant surtout au probUme dit restraint, ou les deux corps principaux circulent dans des orbites sans excen- tricit^, pendant que le corps trouble a une masse ntfgligeable. Dans ce cas, si

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 5

on laisse de cote cerlaines trajectoires exceptionnelles, dont la r&ilisation est infmiment peu probable, on peut d6montrer que le systeme repassera une infinite de fois aussi pres que 1'on voudra de sa situation initiate. C'est ce que j'ai appe!6 la stability a la Poisson.

XIX. — Probleme des trois corps; developpements approclies et applications [47, 97, 115, 133, 149, 15S, 159, 183, 208, 210, 214,

215,216,279].

Tous les th^oremes donl il a &t& question dans le paragraphe prudent ont un caractere commun, ils sont rigoureux. Ceux dont je vais parler mainlenant ne seront en g&a&ral qu'approchds et auront par consequent avant tout un inl^rgt pratique. Ce sont cependant les seuls dont les aslronomes fassent et puissent faire effectivement usage.

Dans quelles conditions ces s6ries divergenles peuvent-elles £tre utilises avec succes? C'est cequej'ai cherch6 a ^claircir ([279], ChapitreintituU Calcul formeV). J'ai monir6 dans quelles limites cet emploi estl^gitime, comme Test, pour citer un exemple c^lebre, celui de la s^rie de Stirling, et j'ai fait voir que les regies dti calcul de ces series sont les monies que celles de series ordinaires.

J'ai justify ainsi 1'emploi que font les astronomes de ce genre de d^veloppe- ments; et en particulier des d^veloppemenls trigonometriques. J'ai cherch^ en outre a perfectionner les m^thodes qui permettent de les former.

Rappelons en quelques mots comment le probleme se pose.

On ne peut r^soudre le probleme des n corps que par approximations succes- sives, et la premiere id6e qui s'esi pr^sent^e a consist^ a d<3velopper les coor- donn^es des astres en series ordonn^es suivantles puissances des masses. C'est sur cette id6e qu'est fondle toute la Mecanique celeste ancienne. Mais quels que soientles services qu'aient rendus autrefois ces anciensproc6d^setqujilssoient capables de rendre encore, on n'a pas tard<§ ^ s'apercevoir de leur insuffisance et de leur impuissance a donner une approximation ind^finie. Dans les d^velop- pements auxquels ils conduisent? on voit en effet le temps entrer non seulement sous les signes sinus et cosinus, mais en dehors de tout signe trigonom^trique. Ce fait suffit pour d^montrer que le champ ou les anciennes rn£thode$ conservent leur efficacit^; quelque ^tendu qu'il puisse ^tre, est certainement limit^.

C'est ce qui explique les efforts qu'ont faits les g^ometres pour remplacer

6 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

les scries aneiennes par des drtveloppoimMits puremonl iri^onomtflriques. Dans ces derniers temps, on a proposed deux nuUhodes romarquables qui puraLssont atteindre complctemonl ce but. La premiere esl cello do IV L CUIden, (jui «»M fond6e sur Femploi des fonclions elliptiques; la seconde esl eolte do M. Lindsledt, dent je me suis s art out oocup<5.

Dans eelle derniore mcHhode, un artifice ingenious pcrinet a ehaque approxi- mation do fairc disparaitre les tonnes stfculaires qui peuvent s'et.re iutroduits. II esl ais6 de voir que col artifice n'wssira toujours s'il n'v a qu'im lenne a Cairo disparaitre; mais il n'en sorait plus <Io momo s'il s'tfilait introduit a la fois deux tonnes stfculaires. II esl facile do verifier d^aillours quo, dans les premieres approximalioiiSj on n'a a so <lobarrasser que (Tun seul tonne; mais on pent so demander s'il doit en <Hre toujours ainsi. (In exaiucn .suporliciel pourrait fain? croire le conlraire, ot mtune, M. Lindstodt otait dispos6 a pcnserquesa melhodo no nhissirail que s'il n'j avail outre les arguments aunmo relation lini^aire,

Je suis parvenu A dthnonlror (jue It*, tt»rme stumlnire qui peut apparaitre A chaquo approximation est toujours unique el que? par eonseqtienl, In methods de M. Lindstedt est toujours applicable [97]. Pour coin, j'ai eu rocours ft un tlxdoreme qui semblait ne se rapporlor en auoune fa<;on j\ la question, c'est- iVdire au th6or^me de Green.

J7anrais pu ^galemont, comme je I'ai fait ensuite [U?>, 133], employer les invariants intdgraux ou bien me servir cles thdoromos do Jacobi sur les Equations de la Dynamique,

La m^thodc de M. Newcomb est foiuleo sur les monies priacipes; mais olle s'applique plus naturellernent aux cas les plus gon^raux du problerin^ des trois corps. JJj ai apportd de notables perfoctioimemenls [183, 279, 208). La nn'me question se posait que pour la methode <Ie M. Lindsiedl. On pouvait disposer de certaines arbitrages pour fairo disparaitre les lormes s(k;ulairo«; mais il y avait deux fois plus de termes i\ faire disparaftre que d'arbiiraires* Heureusement chaque fois que Ton fait disparaitre Tun de cos termes, un a ul.ro disparaftspon- tan^ment. Je me suis servi de la m^ihode de Jacobi [279] %pour d^montrer cette disparifcion spontan^e et la possibility clu ddveloppement. Une fois cette possi- bilit^ ^tablie, jjai donn6 ([279], Chapitre XIV) le mojeu do former efioctive- ment et directement les series.

II y avait 1& toutefois un grave inconvenient, puisqu'il fallait dans deux analyses enti&rement s6par6es d^inontrer la possibility du d^veloppement et en calculer les coefficients, Ayant remarquc^ qu?une cerlaine expression devait

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 7

differentielle exacle,j'en ai profile pour modifier la methode ([279], Chap. XV). Certain.es integrations peuvent 6tre 6vit£es etremplac6espar des differentiations on des operations algebriques; il en r^sulte d'abord quo la possibilite du deve- loppement devient presque evidente. De plus les calculs sont simplifies. La partie la plus pinible du calcul, bien qu'elle ne pr^sente aucune difficult^ theo- rique, est en efTet la substitution des valeurs approchees des variables dans les deux me tab res des equations differentielles. La methode nouvelle permetde diminuer de pres do moili6 le nombre de ces substitutions.

Mais on pent aller plus loin encore dans cette voie. C'est ce que j'ai montre plus tard [208]. Je me suis servi d'une expression differentielleexacte analogue a celle dont je viens de parler et j'ai pu diminuer encore le nombre des substi- tutions et des integrations. On remarquera que le theoreme de Poisson (inva- riabilite des grands axes en tenant compte du carre des masses) devient presque intuitif.

Tous ces precedes se trouvent en difaut quand les moyens mouvements sont pres d'etre commensurables. 11 faut alors employer une methode derivee de celle de Delaunay. Dans 1'invention premiere de cette methode, j'ai 6t6 devance de quelques jours par M. Bohlin, mais j?y ai apporte divers perfectionnements en me servant toujours des m£mes principes. Je me bornerai a dire que cette m6thode permet de discuter les cas singuliers dits « de libration » ou il y a commensurabilite exacte entre certains mouvements moyens.

Quelie relation y a-t-il entre toutes ces methodes et avecles anciens procedes? Telle est la question que je me suis pos6e [210], et j'ai montre qu'on pouvait envisager certaines series qui embrassent pour ainsi dire toutes ces methodes. En groupant les termes d'une certaine mani&re, on retornbera sur les anciennes methodes. Avec d'autres modes de groupement, on tombera sur la methode de Newcomb, ou bien encore sur celle de Bohlin.

Tous ces procedes s'appliquent naturellement a la Lune. Dans la theorie de cet astre, ils sont m£me plus necessaires que partout ailleurs. C'est dans les theories lunaires les plus recentes, comme celles de Hill et de Brown, que Ton voit le mieux Pimportance des solutions periodiques dont j'ai parie plus haut. J'ai donne [214] une methode pour determiner le mouvement du perigee de la Lune qui differe de celle de Hill. Mais j'attirerai plutdt Fattention sur un autre Mernoire [216] ou j'applique a notre satellite les procedes du Memoire [208]. Ces procedes seraient surtout utiles pour obtenir un develop-

8 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES,

penient purement littcral des coorclonntfcs de la Lime. JTui signalo <»n passant diverses circonstances curiouses et prosquo paradoxalcs,

Toutes les series dont je viens dc parlor ne peuvent rtre employees qu'au point dc vue du calcul formel cl par consequent du oalcul approehe. J'ai insiste a diverses reprises sur ce point important [ 1 83, 278? 270, I; 58, 1 50],

Toutes ces mtUhodes si diverses peuvent clre employees pour se servir muluellement do verification, sans Irop de calouLs suppienientahvs, Jo cnterai surtout un procede de verification foudei sur Pemploi des invariants int6- graux [149].

XXL — iSqinlibre d"un fluide en rotation et figure des planetes

[54, 56, 63, 72, 91, 155, 96, 108, 111, 203, 1>12|.

Je me suis occupd 4galement d'ime autre question de M*5canique celeste <juo Ton peut 6noncer ainsi :

Une masse fluide homogine ou h^t^rogdno osl anim<Se d'un niouvenient do rotation autour d'nn. certain axe. De plus, ses molecules s'atlirenl d'apros In loi de Newton. Quelles sont les formes d'&jmlibre qu'olle peut aHecier?

C'est Ik un probldme qui a boaucoup occup6 les g^ometres depuis plus d'un si^cle et demi, et dont I'importance se comprend sans peine.

Dans le cas de I7homog6n6it6, auquel nous nous reslreindrons, deux solutions <Staient depuis longtemps connues : PoIIipsoide do revolution ot I'ellipso'ide a trois axes in^gaux de Jacobt* Mais les conditions do stability dc IVquilibre n*avaient pas 6t6 Studt^es.

On ignorait s'il y avail d'autres formes possibles quand M. Mathiessen et5 apresltii, Sir W. Thomson, annoncdrentPexistence <le figures annulairos d^qui- libre. Mais la demonstration donndc par ees deux savants n'<Hatl pas parfaite- ment rigoureuse; d'ailleurs, M. Mathiessen supposait a priori que la section diff(Jrait trds peu d'unc, ellipse. J'ai montr<§ [63] quo colic hypoth^sc, l^gitime quand la section de 1'anneau est tr^s petite, esl erron^e dans le cas gin^ral, ee qui rend tr&s doutense ^existence de certains annenux tr^s aplatis que le savant de Rostock avait appalls anneaux (3,

J'ai done cru n^cessaire de faire une dludo plus approfondie de ces figures [54, 94, 95]. J'ai mis & 1'abri de toute objection la demonstration de leur existence et montrd comment on peut en determiner les principatax avec une approximation indeiinie.

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIF1QUES. 9

Pour la determination de ces 6l6ments, j'ai fait usage d'une m6thode que Mmo Kowalevski avait d^ja employee dans son M^moire sur Panneau de Saturne et qui est fondle sur le d^veloppement des p6riodes d'une fonction elliptique en series ordonnees suivant les puissances croissantes du module.

II convient d'observer que ces anneaux sont des figures d?6quilibre instable.

Dans un Memoire plus <Hendu [72], j'ai repris la meme question, en d£ve- loppant les r^suhats obienus dans deux Notes anterieures [86]. Une premiere difficult^ se pr^sentait sur ma route. Quand il s'agit d'int^grer de simples Equa- tions diff£renlielles, la m<Hhode des approximations successives est parfai tern enl justifi^e, parce que 1'existence de 1'integrale a £tc tout d'abord rigourement demontroe. Tl n'en est plus de mSme dans le probleme acluel qui est beaucoup plus complique; il peut rester au sujet de la I6gilimile de cetle m(§thode quelques doutes qu'il s'agissait d'abord de dissiper. Pour d6monlrer rigoureu- sement 1'existence des diverses solutions du probleme, j'ai employ6 un proc6d£ tout a fait analogue a celui dont j'avais fait usage dans mes recherches sur les solutions pdriodiques du probleme des trois corps et ou je prends pour point de depart un th6oreme de M. Kronecker.

On reconnait d'abord que les diverses figures d'equilibre d'une masse fluide forroent des series lin&ures; dans une m^me serie, ces figures dependent d'un parametre variable. Telles sont la s4rie des ellipsoides de revolution etcelledes ellipsoides de Jacobi, Mais il peut arriver qu'une m^me figure appartienne a la fois a deux series diff6rentes, G'est alors une figure d^guilibre de bifurcation.

A chaque figure est aLtach^e une suite infinie de coefficients, que j'appelle coefficients de stabilite, parce que la condition de la stabilit^ est qu'ils soient tous posilifs. Quand un de ces coefficients s'annule, c'est que la figure correspondante est de bifurcation.

Ainsi, si en suivant une s^rie de figures d'equilibre on voit s'annuler un des coefficients de stability on saura qu'il exisle une autre s6rie de formes d'6qui- libre a laquelle apparlient la figure de bifurcation.

Un aulre rdsultat, c'est que les deux series lin^aires dont cette figure fait partie 6changent leur stability. Si, en suivant Tune des series, on ne rencontre que des ^quilibres stables jusqu'a, la figure de bifurcation, on n'y trouvera plus ensuite que des figures instables. Les figures stables appartiendront a

Pautre sdrie,

Ces principes, appliques a divers problemes dej^. traites par Laplace, m'ont permis d'en computer la solution.

H. P. — VII. 2

10 ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUKS.

Pour Irouver los formes d'eqnilibre d'uno masse tluido on rotation <jui different pen d'un oilipso'ide, il faul rochorehor si, parmi los ellip.soide> do revolution et eeux do Jacobi, il y a des figures de bifurcation. Pour cola il faut calculcr les coefficients de stability do res ellipsoides, On trouvo quo res coeffi- cients dependent ties fonclions do Lainrt.

J'ai done du fa ire de cos functions une oludt1, appioion<li<u J'ai domonln* d'unc maniere nouvello quci cos polynonios out toutos leurh rarities roollcs et j'ai Studio la inaiiiere dont ccs raciiu^s so r/'pnrlis.sonl.

En rigalant a z^ro los divers oooflicionls d(? slabilite, on ohuont dos oquatioiiN qni sonl transcendantcs, inais cjui pouvenl noaninoius sc* disouter cFuno nuinioro complete* Gcttc discussion montre qtie, parini los ellipsoides do revolution, commo parini les ellipsouies d<^ Jacobi, il v a uno infiniU'* do Hguros <h» bifurcation.

II r^sullo do la qu'il y a d^utros formes dY'quilihro quo lo.s ellipsoides et les anneaux,. Ces figures nouvellos sonl on nombre infini; olios sont convoxon ol on! Loutes xm plan de symotrie, Quol<ju<js-unes n\?n out qu^un; <I7antros son! do revolution; d'autros on fin ont phisiours plans de synuUrie passant par I'n&c.

11 restait a etndior les conditions de slabilite de rcujnilibro. J'ni distingue, a Fexemple do Sir W. Thomson, la suibilito seoulairc, qui subMMe lorsqn'on tient compte de la viscosiu's et la stabiliie ordinaire, qui n'n Hoti quo lorsqu'on neglige eollo resistance. En co qm concerne la premiere* de cos stalnlite.sT j'«i montr6 qti'ollo appartient aui cllipsoi'dos dt^ revolution, moins aplatis qtio colui qui osi en mdme temps urx ellipsoTde do Jaoobi, el quo los ollipsoidos <ie Jncobi, qui satisfont ft tme certaine condition) en jouissonl egalemcnt. Los autres ollip- soidcs sont instables et il on est do mtfme ties figures annulaires. Quant aux autres figures nouvellos <juo j?ai decouvoru^, olios sont totitos instables, & 1'exception d'une d'ontro olios qui est pour ainsi diro piriforme*

J'ai doaue aussi uno miUhode pour determiner les conditions de la stabilite ordinaire, xnais je n'en ai fait qu'une application partielle qui permci, loutofois, de reconnaitre quo cotte siabilite pout subsisler quand la stabilite s£culairc% a cesse.

Je ne puis d'aillcurs mioux rrtsumor tous ccs resultats qu'en fnisant Fhypo- th^se suivante :

Imaginons uue masse fluide so contractant par refroidissement, mais lentement pour roster homogdne et pour que la rotation soit la m&tne dans

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. II

Louies scs parlies. D'abord Ires voisine cPune sphere, la figure de cetle masse deviendra un ellipso'ide de revolution qui s'aplatira de plus en plus; puis, a un certain moment, se -trans forrnera en un ellipsoi'de a trois axes in^gaux. Plus tard, la figure cessera d'etre ellipsoi'dale et deviendra piriforme, jusqu'a ce qu'eufin In masse, se crensant de plus en plus dans sa partie m£diane, se scinde en deux corps disliiicts et in^gaux.

L'hypolhese qui precede ne peut certainement s'appliquer au sysleme sola ire. Quelques astronomes ont pens6 qu'elle pourrait £tre vraie pour ceriaines 6loiles doubles, el que des 6toiles doubles du type de (3 de la Lyre pr6senleraienl des formes de Iransition analogues a celles donl nous venons de parler.

Dans un de ces M6moires [9*4], j'ai montr^ qu'aucune forme d'^quilibre stable n'est possible si la vitesse de rotation d^passe une cerlaine limite.

On peut faire de ce principe une application aux anneaux de Saturne. Clerk Maxwell a ddmontr6 que ces anneaux ne peuvent £tre solides et que, s'ils sont fluideSj leur densise ne peut d^passer les 3/ioo de celle de la planete. D'aulre part [96], je d6montre que, si les anneaux sont Guides, ils ne peuvent cHre stables que si leur densit^ est sup^rieure au 1/16 de celle de Saturne. L'analyse semble done confirmer Thypothese de M. Trouvelot, qui considere les anneaux comme formes d'une multitude de satellites extr^mement petils et ne croit pas pouvoir expliquer autrement certaines apparences observ6es.

J'ai donne [108] une demonstration plus simple d'un th6oreme de M. Liapounoff, en vertu duquel la sphere correspond au maximum de la fonction potentielle, et je suis encore revenu a diverses reprises sur des ques- tions analogues [HI, 212] en donnant quelques ^galit^s etin^galit^s curieuses.

M. Radau avait remarqu^ qu'aucune hypoth£se ne peut rendre comple a la fois de Faplatissement adopt6 et la valeur observ^e de la precession. Dans deux articles consacres a la figure de la Terre [203], j'ai confirm^ la conclusion de M. Radau.

It?. ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES.

BIBLIOGRAPHIK DES TRAVAUX DE AIKCANIQI'H; CKLKSTE

RKLATIVK A I/ANALYSE HK SKS TRAVAUX PAR HKNRI I'OINC.AKfi.

XVII. - GBN&RAUTKS sou LES EQUATIONS OK LA DYNAMIQUB

ET DK LA MtiCANIQOK CELKSTH.

[104] »$«/• *«/?/? forme tmuvelle des equations dtt />/W»/r/;><" des trois corps ((\ It,

Acad. *Sfe,, t. 123, 1896, p. io3*-io3f>).

[106] Sur la method? de Brrtns (Ibid., t. 1W2:5, 1896, p. r,>i».'ri?2H). [18H] Sur les problbtn?$ dcs frois rnr/ts t*t Irs equntious de la Dynttrmtj[uc (A eta

Math*y t. 13, 1890, p. 1-270). [ 187 ] Sur une forme nottvellc des Equations du probttmc d<rs trots rnrps ( //////, ttstron^

t. 14, 1897, p. 53-67). [578, 280] Les mdthodes nouvelfas dc l<r Mticanique celeste, t, I (1%?.) et t. Ill (i^tnOi

Paris.

XVIII. — PROBLEMK DBS TROIS CORPS; PROPIUET^S QUALITATJVKH*

[38] Sur certttines solutions pttrticulibrvs du problem® dcs trots cftrjps ((\ IL Acttd.

Sc.y t. 97, iS83, p. tt5i-i*5a)" [912] Sur certctines solutions particulivres da pro blunw dcs (roi$corjm(/iulf» a$trv/tn

t. 1, i88{5 p. r>5-74). [1G3] Sur les solutions pdriodtques et le pn/iet/w /A? moindre ant ion (C, Jtt* Aeatl. A>M

t. 12», 1896, p. 915-918). [1C7] Les solutions p^riodigucs et le prinvipc d<' ntoindrc ttction (Ibid*, t, 114, 1897,

p. 713-716). [183] Gf. supra,

[204] Sur le problkmo dcs train corps (Bull, astr., t. 8, 1891, p. i •>!*,{}• [278, 280] Cf. supra.

XIX. — PROBLEMS DES TROIS CORPS; DRVKLOPPBMKNTS APPROCH^S RT APPLICATIONS.

[47] Sur une Equation differentielle (C. tt. Acad. Sc.t t. 1)8, i8B,{, p. 70-^"79rO* [97] Sur une tndthode de M* Lindstedt (null, astron., t. 3, i88(>, p. D7-Ui)» [115] ^wr ^^ 5cVt>s rfe Af, Lindstedt (€. JL Acad. Sc., t» 108, 1889, p. ai-st*}). [133] iSwr ^application de la method® de M. Lindstedt au problems de$ trots corps

(fbid>, t. 114, i8ga, p. iSoS-iSog). [149] *Swr un proc£d$ de verification ^ applicable au calculates series de la Mdcanique

celeste (Ibid., t. ISO, i8g5, p. 67-^9)*

[158] Sur la divergence des series de la Mecanique cdfaste (Ibid.) t. 1S2> p. 497-499)'

ANALYSE DE SES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 1 3

[ISO] Sur la divergence des series trigonometriques (Ibid.) t. 122, 1896, p. 567-569).

[183] Gf. supra.

[208] Sur Vintegration des equations du probleme des trois corps (Bull, astron. .>

t, 14, 1897, p. 241-270). [210] Sur la f aeon de grouper les termes des series trigonometriques qu' on rencontre

en Mecanique celeste (Ibid., t. 15, 1898, p, 289-810).

[214] Sur le mouvement du perigee de la Lune (Bull, astron., t. 17, 1940? p- 87-104). | 215] Sur le determinant de Hill (Ibicf., t. 17, 1900, p. i34-i43). [216] Sur les equations du mowement de la Lune (Ibid.) t. 17, 1900, p. 167-204). [279] Les Methodes Nouvelles de la Mecanique celeste, t. II, Paris, 1898.

XXI. — EQUILIBRE D'UN FLUIDS EJNT ROTATION ET FIGURES DES PIANETES.

[54] Sur Vequilibre d^une masse fluide animee d'un mouvement de rotation (C. R.

Acad. Sc.) t. 100, 1886, p. 846-848).

[50] Id., (Ibid., t. 100, i885, p. 1068-1070 et t. 101, i885, p. 807-809). [63] Sur Vequilibre d'une ?nasse fluide en rotation (Ibid.) t. 102, 1886, p, 970-972). [72] Sur Vequilibre d^une masse fluide animee d^un miuvement de rotation

(Acta Math.) t. 7, i885, p. 259-880). [94] Id., (Bull, astron.) t, 2, 1886, p. 109-118). [95] Id., (Ibid.) t. 2, i885, p. 4o5-4i3).

[96] Note sur la stabilite de Vanneau de Saturne (Ibid., t. 11, i885, p. 607-608). [108 j Sur un theorems de M. Liapounojf) relatif a Vequilibre d'une masse fluide

(C. R. Acad. Sc., t, 104, 1887, p. 622-626). [Ill] Sur Vequilibre dhme masse heterogene en rotation (Ibid.) t. 106, 1886,

p. 1671-1674).

[203] Sur la figure de la Terre (Bull, astron.) t. 6, 1889, p. 5-n et 49-Go). [212] Sur Vequilibre d^un fluide en rotation (Ibid.) t. 16, 1899, p. 161-169).

Le present Volume contienl tous les Memoires mentionnes ici, a Texception de ceux portant les nos 96, 203, 214, 215, 216, qu'on trouvera dans le Tome VIII des OEuvres. II contient aussi ceux que H. Poincare a publics depuis 1901, epoque a laquelle remonte son Analyse. L'ordre que nous avons adopte pour la publication est tres sensiblement celui que E. Lebon a fixe dans la bibliographic se trouvant dans son Volume : Savants du jour ; Henri Poincare, 2e edition, Paris, 1912; toutefois, les Memoires qui figurent a cette bibliographic dans la Section Series de la division Mecanique celeste sous les nos 10, 13, 11, 12 ont paru anterieure- rnent dans les OEuvres : les deux premiers dans le Tome I, pages 162 et i64, les deux autres dans le Tome IV. Us n'ont pas e*le reproduits, pages 585 et 588, (J. L.)

SUK

L'fiQUlLIBRE D'UNE MASSE FUJIDE ANIMEE D'UN MOUVEMENT I)E ROTATION

rend MS th* r (cadcrnit* ties *SVfVwr.s\ t. 100, p. IJ^i-'i'jS (t\ JY*vri<T iNS,r)).

Dans la dcuxieme edition de lour 7Vv«V/; <lc Miiloxop/ite natur&ltti, MM. Tail el Thomson enoneent suns demonstration le rnsuhat suivaut, an sujel de la figure d'6quilibro d'une inas.se lluid^ hoino^n(», (lout Unites le& molecules s'alliront suivaut la loi nevvtonienne ol. ({ui tjst, anioiee (Fun inonve- uient de rotation, uulour d'ua axe. Outre le.s figures ellipsoulales hion connuos, tl y a, d^apres Ics ^dottuUros anglais, uuo antre fonkUMlT^(|tiiIihra9 (jui oousi.sK* eu une surface aixnulniro de revolution analogue a tin tor<!.

Je suis parvenu a rcironver la d^iuousiratiou du nlsullat do MM. Tail et Thomson on m'appuyaut sur le prin<;ipo snivuut, <ju'il e.sl ais<5 d*<HabIir rigoureusomcnl :

Si un sjstemc qnelcoaque, on equilibre stable sous Faction de ccrtaines forces, vient 4 ^tre soumis 4 des forces p(^rturbatricos infmimcnl petites, il y aura, pour ce nouvel 6tai de forces, une nouvelle position d'6quilibre$ stable infiniment voisine de la premiere.

J7ai elierch6 ensuite A ddtermincr les prineipaui 61$menls de la surface aunulaire d'^quilibre. A cet effet^ j'ai choisi les unilds de masse et de temps de telle fagon que la densit^ de notre masse lluide soit ^gale a i et qua runit^ de force soil Fattraction newtonienne de deux limits dc masse ft Funitd de distance, C^est ce qui est le plus convenable dans une dludo thioriquo*

J'appelle R la distance du centre de gravild de la section miridicnne ^ 1'axe

SUR L'E*QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. i5

de revolution. La section meridienne admet un axe de sym^trie qui est la perpendiculaire abaiss^e de son centre de gravite sur Paxe de revolution. J'ecrirai 1'equation de cette section meridienne, en prenant pour pole le centre de gravit6; et pour axe polaire Faxe de sym^trie. Liquation s'ecrira alors

p = r -+- (3 cos 2 CD -f- y cos 3 <p H- . . . ,

r, P et y etant des constantes telles que les rapports ~? L, 1, ... soient tres pelits.

Cela pose, j'ai neglige d'abord (3; y, ... de fagon que la surface se reduise a un tore de rayons R el r, et j'ai cherche a exprimer le potentiel V en un point quelconque.de la surface du tore. J'y suis arrive a Faide des series qui donnent les periodes K et K/ d?une fonction elliptique, developpees selon les puissances de /c2 et de log/r. On trouve que V? qui ne depend evidemment que de Tangle <p,

peut se developper suivant les puissances de 7*; de ^5 de log - et de cos<p. Les

coefficients de cette s6rie s'expriment par des iategrales definies.

Si Ton tient compte des quantit6s appel6es plus haul {3, y, . .., on devra ajouter a V certains termes correctifs. II faudra enfin disposer de la vilesse angulaire co et des coefficients (3 et y, de fagon que Fexpvession

soit independante de cp. On trouve ainsi (d)

SR

en negiigeant des termes de I'ordre de ^ log - -

On obtient de

5 r» . 8R

K etant une constante numeriqae qui s'exprime par une integrate definie.

Les autres coefficients y, 5, . . . sont infiniment petits par rapport a p, de sorte que la section ine>idienne peut ^tre assiraiiee a une ellipse dont Faplatis-

. sement serait

(l) Cette formule et les suivantes ont 6t6 16g6remeiit modifiees par H. Poincar^. Voir ci-aprds? p. 28, et aux Notes, Figures annulaires. (J. L.)

l6 SUR L'tQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Le moment dc la quantile de rnouvemenl est approximativeinenl

M ddisignant la masse du fluide.

La incline mtUhode pourrail s'appHcjuer a uno aulre solution clu inline probleniC; (Snoiicee (5galeinent sans demonstration par MM, Tail el Thomson ei ou la masse fluide se riparlit en phisieurs anneaux conconlriqnt's.

Je n'ai pu encore approfondir la quoslfon do la slabiliu'^ do ces masses annulaires. J'ai fait seulement, en passant, une n»mar<jue cjuo j« crois nouvelh*.

Si la Vitesse angulaire M est supcrieure a y in: (avec Ics tinilcs adoptees), i! n^j a plus pour la masse iluide aueune figure dYMjutlibre slable possible.

SUR

L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE

ANIMEE DrUN MOUVEMENT DE ROTATION (

Bulletin aslronomique, I. 2, p. 109-118 (mars 1885).

( hi s'cst preoceupc depuis loagtemps de determiner les figures d'^quilibre d'une masse fluide homogene donl loutes les molecules s'attirent d'npres la loi newtonienne et qui esl animee d'un mouvement de rotation autour d'un axe. On est m6me arrive assez prompteraent a deux solutions du probleme, les ellipsoVdes de revolution et les ellipsoi'des de Jacobi; mais on ignorait jusqu'a ces derniers temps s'il existait d'autrcs iGgures d'^quillbre possible. Dans la derniere Edition de leur Trait& de Philosophic naturelle (ier vol., IP Part., p. 33s), MM. Tail et Thomson ont enonc6 sans demonstration un certain nombre de r<5sultals fort int^ressants. Us annoncent, par exemple; trois classes nouvelles de figures d'6quilibre? a savoir :

iu Un systeme de deux ou plusieurs masses sph^roidales, anime d'un mou- vement de rotation commun autour d'un certain axe dans Pespace. a° Une surface annulaire de revolution, analogue a un tore.

(*) Je viens de recevoir communication djua M6moire de Mme de Kowalewski dont je n'avais pas connaissance an moment ou j'ai r6dig6 le present travail. Ge Memoire, intitule Zusatze und Bemerkungen zu Laplace's Untersuchung fiber die Gestalt der Saturnsringe, a et6 6crit en 187/1 et envoy^ a cette epoque ^ l'Universit6 de Gottingen; mais il -vient seulement d'etre imprim6 dans le n° 2643 des Astronomisrhe Nachrichten. Bien que le probleme trait6 par la savante math6maticienne ne soit pas tout a fait le m^me que celui dont je me suis occup6, son analyse se rapproche beaucoup de la mienne et je n'ai ajoute que pen de chose nux resultats qu'on pourrait facilernent d<^duirc de son Mdmoire.

H. P. — VII. 3

18 SUR L'EQUILIBRE D^UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

,'V* Un sysicuie do plusieurs anneaux ooncenlriques, animus d'mie meim> vitessn de rotation aulour do lour axe commun.

Jo n'ai ricn a ajoutcr sur la premiere solution, qui esl cello a laqnellc on e.sl conduit on envisageanl le sjsteme d'une planele et <Tim satellite donl Poxeen- tricit/i serait nullo el dont les deux vilesses de rotation soraienl rfgales outre elies et ft celle de revolution; ou hien encore le svslftino de plusieurs masses .s<» mouvanl en restant en ligiie droile, conform&nonl a« princip«» do (Ihapilre V I du livre X de la Mvcanique celeste de Laplace.

Mais je (^rois ulilo de revenir sur la deuxieme solution, en donnani nno demonstration du rosullal de MM. Tint ol Thomson el en chorchaiU a dolor- minor approximalivomcnt les principaux 61<iments do la figure annulairc

d*(5quilibre.

Dans des questions de celle aaluro, on ne peal com]>lor sur les mcthodes <rapproximalion successive pour dimontrer riffuurow«c»ment la possibility (fune solution. II faut au conlraire faire usage de (Considerations do continuing ainsi que je Tai fail dans ma Note sur ceriaines inl^grales pnrlienltftres du problfimedes trois corps (J). I^existenccde la solution une fois rigouronsoment tUablio, on se sort ensuile des mdihodes hahiluelles pour la cnlculer npproxi- mativement.

Je choisirai les trois unites fondamonlalos d« longueur, du temps el de massse de lelle fa^on quo la densild do la masse fluide que je ccmsidiro soil 6gale a i ct que Tunite do force soil 1'altraclion newlonioxme de deux «nit(Ss dc masses A I'unitide dislance. J'envJsagerai une figure amiulairode revolution tr6s peu dill<Srente d'uii tore. J'appellerai il la d£slanc<? du centre de gravid de la section m6ridiennc ft 1'axo de revolution. Je supposerai de plus quo k perpendiculaire abaissde sur 1'axe de revolution de ce centre de gravild soil un axe de symitric de cette section mdridienue*

II resie A icrire 1'dquation de la section m<kidienne* Pour cela je prendrai pour p6le le centre de graviu* et pour axe polaire l*axe cle synuUric de cette section, ct j'aurai pour cello Equation, en appelant p el 9 les coordonnties

polaires, (a)

p sss r H- fJa cos 2 9 -4- (ia cos 3 tp H- . . . -f- (i» cos n tp -4 ...

(lj OEuvres de M. Poincar^ ce Tome, p. :*53. (3) Voir aux Notes, Figures annulaircs*

SUR L^QUILIBRE D^UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 19

Je supposerai que les rapports ,-? — sont Ires petils, ainsi que la vitesse

angulaire de rotation co. J'envisagerai le potentiel V et l^nergie potentielle W :

,r ("dm ^T Cdrndni' y — I _. , W = / 3

J & Jo,

dm eldm! designant deux elements de masse de noire iluide, A etantla distance de F6l6ment dm au point P dont les coordonn^es sont x^ y et z^ et d etant la distance des deux elements dm et dmr. Le potentiel V est une fonction de #, y et 3, tandis que W est une constante qui ne depend que de la forme de la surface.

Pour que la surface soil une figure d'6quilibre, il suffit que i'expression

ou I est le moment d'inerlie de la surface par rapport a son axe de revolution, voie s'annuler toutes ses derivees premieres par rapport a R et aux (3.

Etudions done les variations de cette expression quand on fait varier w, r, R, et les (Sfl, et montrons que ces d6riv6es devront s'annuler pour des valeurs de ces quantites variables satisfaisant aux conditions de grandeur relative que nous nous sommes imposees.

Soient dS et dSf deux elements de 1'aire de la section meridienne, y ety' les distances de ces elements a 1'axe de revolution. Ges elements engendreront par leur revolution deux anneaux infinitesimaux dont les masses seront

et arc

Soient a et b la plus petite et la plus grande distance de ces deux anneaux infinitesimaux, M(a, 6) la moyenne arithmetico-geom£trique de Gauss de ces deux distances. L'energie potentielle provenant de Fattraction mutuelle de ces deux anneaux s'ecrira

jJLjj/ __ fJLfJL' J

M(a, 6) "" ~ ^s— a^' ou

dz _ a>

,~r. ..;,•,-.„,-.-.• i 'T'..- . J X •— -r- •— •

La th^orie des fonctions elliptiques nous enseigne que, lorsque x est tres petit, J peut se mettre sous la forme

20 SUR L^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

9 et, '|f <Hap.t des series ordonnees suivant les puissances do ,r <»t dont il est ais<« de calculer les coefficients. Le tonne de de^re le moins Alcvr dans c«tte expres- sion est —log --, • Nous auroixs

W

-.// rv/pZT^ .V '*'

Si Fon reduissait \/yy* u sa valour approclu'e H» of J a sa valcur approclu»e g T * ou encore 2 log — -1 ? on trouvarail

\V- Mous pourrons done poser

w ^ IK

le rapport ^ tUaul dc memo ordre dc grandeur <{ue j •

On irouvc, d'autre part, sans irop dc difficull^s,

fi>i KK ..,.,, RVUtA 8U i\ s2r«Hvr.,/r \ w,r K log ~ rfS ,/S' * -—- (lofr— H- , J H- -.-^p- Ife ( fi - i j -H W ,

Wv contenant en factcurs des puissances supirieuros des (3. Pour le moment d'inertie I on trouve

n-H; H r

l; s'annulant avec les (3. Nous poserons, pour nbr^ger

VV

Pour qu'il y ail ^quilibre, il suflit que, pour toute deformation virtucllc infinmient petite de notre surface, la variation 5U soit nullc. Or loute defor-

mation virtuelle pout $tre consid<Sr(Se commo la somme dedeax autres quo non.s pourrons ^tudier sdpar^raent.

Dans la premiere deformation, Jti reste constant. La variation <JU depend alors des variations des quantiteb |3. Si, d'autre part, nous appelons M la masse to tale de notre fluide, aous aurons

SUR L'gQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

II suit de la que, si R est constant, il devra en £tre de m£me de

On pent done ecrire

«2rjH1 XR ^no^rgR/i i BR\ o>2 Y

„»__£_ log— H. spj _J- (-_,_ tog — ).H-TI,H- IT.

Dans cette formula on a pose

et le rapport -=j est infiniment petit.

Soil U0 la valeur de U quand on y annule tous les (3; soil Ui la valeur de U quand on donne aux (3 des valeurs telles que

K etant une quantity tres petite, mais d'ordre moindre que •=,-• On trouve alors

Ui— U0= AKH-U'i — U'0,

A etant un coefficient n6gatif dependant de R et de r0. On en d^duit, en tenant compte des hypotheses faites sur les grandeurs relatives des quantit^s K et U7 :

D'oii cette consequence, que, si Pon fait varier les (3 d'une maniere continue, la quantity S(3^ ne pourra devenir plus grande que K/*Q, sans que U passe par une valeur inf&ieure a U0; ce qui prouve que la fonction U doit admettre un maximum pour des valeurs des (3 iuferieures a r0 \/K et par consequent tres petites. Ce maximum qne j'appelle u est fonction de R, r0 et co. -

II reste a 6tudier la deuxieme espece de deformation de la surface annulaire, pour laquelle R et par consequent r0 varieraient pendant que la section m£ri- dienne resterait semblable a elle-m^me. II faut montrer qu'on peut trouver des valeurs de R et des (3, telles que la variation 3U soit ^galement nulle pour les deux especes de deformations, c'est-^-dire que Ton ait a la fois

Or il est aise de verifier 1'egalite

^ __ .M-i JL IQ~?/R <s?R 8 Tft R2 /*

22 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDS EN ROTATION,

II repr^sentant un ensemble do lerinos ntigligeables devant les deux lerines

conserves et X une conslante facile a determiner.

Supposons quo, R restanl constant, on fasse varier w; //, sera alors une fonction de w, mais pour des valeurs suffisammcnL grandos de M (lesquelles satisfont pourtant aux conditions do grandeur relative que nous nous somines

imposes) ~ sera certainemenl positif, et pour des valeurs assez pelites de w, -JK sera certainemeiit n^gatif. Done, a chaque valour cle R correspond une valeur de o) telle que Ton ait a la fois

V = U, t— 5- o. C. Q, F, I),

fls\

L'existence de la forme annulaire d'^quilibre <Hant ainsi rigoureusi'inenl ^tablie, il nous resie a en determiner approximativement les ^I6ments. A cot eflfet, nous abandonnerons la fonction W dont nous nous somines scrvis jusqu'ici pour consid^rer le potential V.

Je consid^re d'abord le tore et j'titudie 1'cxpression du potential V en tin point de sa surface; ce polentiel est £videmmenl une fonction de Fangle 9 qui ddfinitla position du point de la surface sur la section m^ridienne. En partaat de Fexpression que j'ai donate plus haul pour Piixl6grale J, jc suis arriv4 a montrer que V pouvait se me tire sous la forme (d )

PO et vi 6tant des series ordonncSes suivantles puissances de -'• el de

Les coefficients de ces series s'expriment par des int^grales d^fmies et les premiers termes sont

v ., 8R DK r:i « r'J T 8K

V = ?rr2 log — H- ~ -g cos? — - -g 0039 log— -4- . , ,

II faut ensuite introduire dans celte expression les termes correctifs qni proviennent des coefficients que noius avons appolds (3, c7est-^-dire que nous devons maintenant tenir compte de ce fait que noire figure annulaire n'est pas exactement un tore. Comme on voit sans peine que les coefficients f3;1? (3,,, ... sont tr£s petits par rapport a (32? nous ndgligerons ces coefficients ainsi que le de (32.

Voir aux Notes, Figures annulaires.

SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION 23

Les termes correctifs que nous nous proposions de calculer se r^duisent alors a

— iHL. cos 2 9.

2

L'expression du potential V <Hant ainsi corrig^e, nous pouvons 6crire les conditions d'^quilibrc. La condition n^cessairc et suffisante est, en effet, que

1'expression

}- V H ( R H- r cos cp -4- [3S cos 2 cp cos 9 -4- (3;j cos 3 cp cos cp -h . . . )

2

soit ind^pendante de Tangle 9. Dans Texpression pr6c6dente nous nd'gligerons tous les termes qui contiennent en facteur ^- ou {33, (3^, . . . , ou (3-, ou o)2j32. Elle ne contiendra plus alors que des termes en cos 9 ou cosacp. Egalons a zero les coefficients de cos^ et cos2<p. Nous obtiendrons les deux Equations

suivantes :

TU rj , 8R Q^ rj

r'- Src r'- . 8R

a P 76 Ri

6tant exprim^ par une integrate d^finte.

On tire de la les valeurs approximalives de co2 et de (32

0 5 rs

A ^tant une constante num<irique exprim^e par une integrale d6finie.

Onvoit ainsi que la section m&ridienne pent etre assimil6e a une ellipse dont

Paplaiissement est approximativement - — * Quant au moment de la quantity de mouvement, il a pour valeur asymptotique

ce qui montre que ce moment croit ind^finiment quand R croit lui-meme, tandis que la vitesse angulaire tend au contraire vers z6ro.

Les m£mes m^thodes sont applicables a la troisieme solution de MM. Tait et Thomson, qui est celle ou la figure d'^quilibre esl forrn^e de plusieurs anneaux concentriques. L'existence de la solution se d6monlrerait comme plus haut. Nous allons chercher & en determiner les 61<5ments.

Nous prendrons seulement deux anneaux que nous assimilerons a des tores

de rayons rf ollV, r et R, en negligeant leb aplatissemcnis des sections diennes. Cos deux Lores devronl avoir un plan dc symcStrio coininuii, perpendi- culaire a 1'axe. Nous appellerons 9 Tangle quo fait avcc co plan de syim'trie le rayon qui joint un point M de la surface du tore au centre <lc la section miridienne correspondanle; nous appellerons de m£me </ Fangle analogue pour le second tore. Nous supposerons H >• IV. Nous appellerons V« 1<^ potentiel en un point de la surface du premier tore et V'0 la valour du potential en un point de la surface du second tore. Nous irouverons, on nous bornant aux premiers termes :

/,i «R' « '*''' . V; » «^ log ^ - ^ -ff, (.,089'

H H'

Solent oo et co; les vitesses de rotation des deux tores ; il iaudra pour I'^quilihre que les deux expressions

V0-h^(aH-rcos«), V'OH- '^(H'^r'cosa') JL v>

soient ind^pendantes de <p et cp;, ce qui nous donne les deux equations

. Y> trcr3 . XH xr'-r

u>-Rr-_loff— -- -=

„„, , Jt;-'s . XIV '

____r.___,

Si Ton veut que 0)= o>;, il faut done que Ton ait

r' AH' UV

., 0

M » ^ ~~ _ _ - —

M 6tantla masse totale du iluide. Cette Equation montre que H —IV doit 6tre tres petit par rapport ^ R, ou bien que Ton doit avoir approximativement

SienefleiR— R'n'est pastres petit par rapport a K, le produil7rarr'(U— IV) est de m6me ordre de grandeur que r3R, /^R', oii M, et par consequent le dernier facteur du second membre, doit £tre finL

Je reserve pour un article ultcSrieur la discussion de la stabilil^ de ces figures d'6quilibre. Je me bornerai, pour terminer, 4 faire la remarque suivante qui, malgr6 sa simplicity, nja pas 6t6 faite encore & ma connaissance.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. a5

Si la vitesse angulaire 03 depasse une certaine limite, il n'y a aucune figure d^quilibre stable possible (*).

En effet, pour que P^quilibre soil stable, une condition necessaire, mais non suffisante, c'est que la resultante de 1'altraction et de la force centrifuge, qui doit dtre normale a la surface d'^quilibre, soil dirig^e vers Fint^rieur de la masse.

Soient V le potentiel du & Fattraction, w la vitesse angulaire, r la distance a Taxe, et posons

TT ,, 0)'2/'~

U = V H

2

r j i r dU dU dV , * . , . ,

Les composantes de la force seroiit -y-, -^t -=- et la force estimee suivant la

normale -=—• On aura djailleurs an

Le th6oreme de Green donnera done

rdU _, ,_, „ , x J^o = M(2to--^),

l'int£grale 6tant dtendue a tous les elements de la surface d^quilibre. Si done co>y/27r, Fint^grale sera positive; il sera clone impossible que -^- soit toujours negatif, ce quiestn^cessaire pour que la r^sultante de toutes les forces soit toujours dirigee vers Fint^rieur de la masse. L'6quilibre stable est done impossible. c. Q. F. D.

(l) Voir aux Notes, Masses fluides en rotation (resultats divers].

H. p. — VII.

sim

L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDK ANIMfiE D'UN MOUVEMENT I)E ROTATION

tfji ffxlrojtnmffjtie, l. !?, p. /jo5-/jiB (fteptombni i«SH5j.

Dans le travail que j'ai rcicemmcnt public sur le inline sujel (l), je rx'ai pas donn6 les details des calculs, Bien cjuc mou analyse diflfere pen de celle qu'a employee Mmo de Kowalewski dans sos recherches sur Panneau <le Saturne, il ne sera peut-dtre pas inutile de revenir sur ces details, no fut-ce que pour faire voir quelles sont les simplifications qni peuvent ^tre dues aux hypotheses que Pon a droil de faire sur I'extrdinc petitesse de cerlaines quantit^s.

II s'agit d'abord de calculer le poteniiol du tore- Soicnt O le centre du tore, C le centre d'un cercle mcridien, M un point cjuelconque du plan de ce cercle, B. la distance OG, co Tangle du plan OGM avec un plan mdridien fixe, .r ct r les coordonn^es rectangulaires du point M rapport6 4 deux axes passant par le point C, le second parallele a Paxe du tore. Les coordonn^es de Mrapport^esa

Nous poserons de plus

;/? = p cos 9, y = p sin 9

et nous appellerons r le rayon du cercle mgridien, du tore, de telle sorte que liquation du tore, dans ce systenae particulier de coordonn^esj se r^duira

a p = i\

(l) Bulletin astronomtque, t. 2, p. 109 (CEuvres de H. Poiticar^ ce Tome, p. 17).

SUR L'£QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 27

Pour evaluer le potential du tore par rapport au point M, nous d6compo- serous la surface du cercle meridian en une infinit^ d'616naents infiniment petits dur. Chacun de ces Elements engendrera, par sa revolution autour de Paxe, un anneau £l£mentaire. Soient xf et yf les coordonn^es de Foment cfco' rapport^ aux deux axes rectangulaires d£fmis plus haut, dp la masse de 1'anneau 6l6mentaire correspondant, dV le potentiel de cet anneau, V le potentiel du tore complet. Soienl enfin

a = v/O' — ocf Y -h (y — y' )-, b — \f( 2 R -h x -+• x' )2 -h (y — yf )'2

la plus petite et la plus grande distance du point M a Fanneau

et M(#, b] la mojenne arithm^tico-g^om^trique de ces deux distances. On

trouvera, en conservant les m£mes unites que dans le M^moire citd,

La th^orie des foactions elliptiques nous apprend que Ton a

S0 et Si 6tant des series ordonn^es suivant les puissances de ^* La

th<5orie nous donnerait egalement les coefficients de ces series; mais je vais indiquer un autre moyen de les calculer.

Soil

Aifl-, a BO

--- 1- — ...

Remplagons dans cette identity a par ^ab et b par ^ — ? il viendra

i Ao , CL A.\a, a B'0

Mais on a

a -+- b

2

Les deux series doivent done 6tre identiques; ce qui conduit aux identit6s

Bo = A0log4 -j-2B0,

o = — A0H- 4^!,

o = — 2A0— A0log4 -+-4Ailog4 — 2B0-l- 8Bi.

28 SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION,

On a done

\

en n^gligeant les termes de 1'ordre de ^ log g-

11 reste £ determiner A0. Pour cela nous appHquerons un cas particulier du iheoreme de Green, c'est-iWUre le thtforeme du flux de force. Consid6rons un cercie de rayon tres petit d^cril autour de l'gl£mcnl rfw'. Ce cercle engendrera par sa revolution un tore enveloppant Fanneau ^Umenlaire eonsidere. En un point de ee tore, a sera tres petit et peu different du rayon du cercle m^ridicu. b diflf^rera pen de 2 (R -+-,?/). La surface du tore sera done 4rca#(R-HaO; I'attraclion exercc5e par 1'anneau dp. sur un point du tore diiF<5rera peu de

ah 2a(H H- ./;')

ce qui fait pour le flux, do force — arc3 A0 rftu. Or ce ilux doit (Ure 6gaL d'apres le theoreme de Green, a 4^r dp. On a done

Nous poserons, pour abr^ger

et nous trouverons ais^ment les d6veloppernents suivants

1 - JL _L JL .....^

/J "" 2 R """ 4 R2 " ""

3-

—

En tenant compte de ces d4veloppements? on trouve avec le m€me degri d'approximation que plus haut

i

"" g

SUR L^QUILIBRE D'UNE MASSE FLWDE EN ROTATION. 29

On trouve ensuite

On en d^duit, tou jours avec le m£me degr£ d'approximation,

a a- . a -a + -4 Io^.

j'ai ocrit cetie derniere formule, pour abr^ger, en prenant 2R pour unit6 de longueur, quilte a retablir plus tard rhomog6n^it4.

Pour obtenir la valeur de V lui-m£me, il reste a calculer un certain nombre d7int6grales doubles de la forme suivante :

j 9(j';/» y)Hr^^w'

6tendue H tous les ^l^ments dd de la beelion m6ridienne du tore. Une pareille int^grale n'est autre chose que le potenlicl logarithmique du cercle m^ridien par rapport au point M supposed attir6 en raison inverse de la distance, et de telle sorte que la densit^ de la matiere attirante soifc egale a <p(#'3 yf). Si cette densit6 est uniforme en tous les points ^galement dislanls de C, le polentiel est le m£me que si toute la masse 6tait concentr6e au centre C du cercle m£ridien. On a done

^co'=log| Cf(xr*

Si/estnulsurlacirconf6renceducerclem6ridien5CJest-a-direpouro;/24-y-===r-, Tintegration par parties donne

On trouve de meme

pourvu que / soit nul ainsi que ses m,-\-n — i premieres deiriv^es pour

3o SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Ces formules donuenl

r* a i i 01 P J loga</o> .-;: r-log^

/* > r» (t< j i ~ /%( f

r, „ ,, .,., /< 7 , «r* p / ( # a ^ j- a — rO log //o> - — -^ log- ?

,/ u '

J * a i>. e #

J'appliquerai maintenant la formule (i) en diiKrflutianl la troisiAme des integrates pr^c^denles par rapport & #', ou par rapport a trr, et la quatrieme deux fois par rapport a yf\ j'obtien.drai ainsi

/ (t ,__ ~/'1 <M)SO 4 /*>y . (f<t r^ ££'« SU^Q

X lOg-- ((M — —^ - > ^ I t'l *(^,,. ^ o *" "™;"""*"'"':J°* *

a ^ , / 3C [

2 / (JB'»H- r's— ^'2) Iogr' (^t«/-h .{ / ,//'•! logr/ //(./« — ~;i- Lillil ; J X J * ^ p-

d'ou je lire

/r. # /

C*

-

4 ^a i:>, p-

r'1'. ? 7r/itt cos-o log^ — _-,-.

Si nous supposons quo le point M est sur la surface du lore do tolle l que p = r, ces formules se siniplifieronl im pen, do sorle qu'ou aura

/"* , a lt ., . r x r3 eoscp

/ $log — ^/w = r/'" cos 9 log- — - ; - • i J & a 4

/>.., i ^ 7 ^ • . i S»]og-rfW'c3^]o

/«« , <*> r , .,

Ploff; dtf- -•'•

/a2 log - d&' = - rc rA log - ot i>. oc

//v , a 7 , jcr* . r T?/^ / i 5 * 5 log- ,/W = T log- - -_^ + -

Toutes ces int^grales sent des fonclions Iin6aires de 0059 et cos*>,cp; si nous les substituons dans ^'expression de V, nous trouveroiis

V «= V H- G cos 9 -H II cos 29. F, G el H 6tant ind^pendanls de 9; on a, en r^lablissant r

r i^ _, -'' ,,

G « — logj^ H- ^ , 11 =

SUR L^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 3 1

tu elant une constanle facile a calculer d'apr&s ce qui precede, Quant a F, il n'intervient pas dans la suite et nous n'ecrirons que son terme principal qui

est 27rr2log — -•

Supposons maintenant que la masse considcr^e, au lieu d'affecler la forme du tore dont liquation etait p = r, prenne la forme d'une surface de revolution S, pen differente de ce tore, ct ayant pour Equation

P == r H- p2 cos a 9 H- ps cos 3 9 4- . . . -h pf cos z 9 H- . . .

Nous pourrons alors regarder 1'attraction de cette masse comme la somme de 1'attraction du tore et de la difference entre la surface S et le tore. Nous appellerons <5V le potentiel du a cette difference, V le potentiel du tore par rapport a un point de sa propre surface, et V -j- AV le potentiel du tore par rapport & un point de la surface S, de sorte que le potentiel total par rapport a un point de la surface S sera

VH-AV +

_ rdv

8V = / ~~r-, J d<*>

1'integrale du second rnembre etant etendue a tous les elements dd de la section meridienne de la surface S. Mais, les (3 6tant tres petits, nous pourrons, dans le calcul de AV et de SV, ne tenir comple que du terme

principal de -7—, qui est — 2 logFp" Nous trouverons ainsi

—,

p T> Q T>

AV = 2rcr2 log -- 2%7'2log —

en negligeant les carr^s de |3. On trouve encore avec le m£me degre d'approximation

sv

r

= — 2r / log

«^o

r .9 — 9

• sin

2

si Ton observe que, pour les elements de la difference entre la surface S et le tore, on peut ecrire

> — <D'

2 r sin —

r = /' dy' S fa cos i 9'.

On peut ecrire egalement

' = —27' / log

sm-

(S[i/cosz8 cos/ 9 ~\- Spf siniO sin i 9) d0.

32 SUR L^QUILIBRE D^UNE MASSE FLWDE EN ROTATION.

Gotte integrate peut s'dvaluer sans peino. ( )n a, on eilel,

ou, en egalanl les parties r^elles

On en d£duit

C' /

- f) -ft ~ bin •- cos^. 0 = - — .

II reste done

V -:~ AV -;- 5V = 1^ •+- G cos 9 -h H <»os u 9 n- 2 T: r *1 ji/ cos *'?(•;

D'autre part, le potcntiol du a la force centrifuge a pour valour, en appclant n la vitesse de rotation el en n^gligeant n~ J3

-*- (H -4- ./,')- = — ( H- H- ' " ) -H /?,- H r c(^ 9 ; 7' r2 <»os 2 s. a v ' i>, V a / /i

Pour que F6quilibre ail lieu, II fout que 1'expression

soil ind^pendante de <p. cc qui monlre d'abord que? nv(}« le degr^ d 'appro- ximation adopte, tons les (3 sont n^gligeablcs, sauf |32, cjcsl-a-dire quo la section m^ridienne peut etrc regard(5e coxnme nne ellipse* dont 1'aplatisseineni

En egalant ^ o les coefficients de cos<p et cos 2 9, on obtiont les deux Equations

L Ton tire

et approximativement

_ „-,„„?,

Ges r6sultats ne sont pas tout a fait les m^mesS que ceux de mon premier travail, par suite d'une faute de calcul que j'y avais commise.

SUR L'£QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 33

Oecupons-nous maintenant du cas ou la ma-sse fluide est r^partie en deux volumes armulaires separ^s, peu diflferents de deux tores. J'appellerai R el r les deux rayons du plus grand de ces deux tores, R/ et r1 les deux rayons du plus petit. Le potentiel, en un point de la surface du premier tore, sera £gal au

potentiel du a son attraction propre, c'est-a-dire a F -j- Gcoscp ( en n^gligeant H et les termes du m£me ordre, c'est-&-dire de meme ordre que g^log - j » plus le potentiel du a ^attraction du second Lore, que je puis r^duire a son terme principal, si ^_ Ry est assez petit. Si Fon observe que la distance d'un point

du premier tore au second est a fort peu pres R — R7-}- rcoscp, on verraquece terme principal peut s'^crire

„. 8R' „ . 8R' 27cr'2rcos9

2^^1ogH^R/^rcos?^2^Mogl— - -,-, R_R/ .

II faut pour Pequilibre que ce potentiel augment^ de — (R + ^?)2 soit pendant de 9; on doit done avoir

2 TU r/2 r

Si Ton appelle Gf et n! les quantit^s qui sont au second tore ce que G et n sont au premier, on trouvera de rneme

On a d'ailleurs

r „, 2 rc r's ,

v dtanl une constante facile a calculer. Si done on veut que les deux vitesses de rotation n et nf soient les memes, il faut que Ton ait

r2 r r'2 rf __ i / r[* r^\

R5JO&7R"" R7* S?F" R — R'VR "^ R' / En appelant

la masse totale du fluide, nous pouvons 6crire

ce qui est la formule que j'avais donn^e ^ la fin du travail cit6.

H. p — vii.

SUR

L'EOUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMEE D'UN MOUVEMENT DE ROTATION

Coinptes rendus de CAcaddtnie des Sciuwvs, t. 100, p. io<>iS-m7o (no avril i ««,"»).

Une masse fluide homogene dont totites les molecules s'aiiirent d'apr&s la loi de Newton, et qui est anim<§e d'tm mouvement de rotation uniforme autour d'un axe, est susceptible d'une infinil6 de figures d'^quilibre. Les seules qui aient (k£ signaldes jusqu'ici sont rellipsoidc de revolution, I'ellipsoi'do de Jacobi et les. figures annulaires de MM. Tait et Thomson, que j'ai 6lu<)i6c$ en detail dans une Note r^cente, ins6r6e au Bulletin astronomique (d). Mais le probleme adrnet une infinite^ d'autres solutions.

Je considdrerai des series Hn6aires de figures dj<kjuilibre, c'est-&-dirc des series telles, qu7^ chaque valeur de la vitesse de rotation corresponde une figure, et une seule, on un nombre fini de figures, et que cos figures d^quilibre varient d'une fa<?on continue quand on fait varier cette vitesse. Ainsi les ellipsoides de revolution forment une s6rie Iin6aire, les ellipsoides de Jacobi en forment une autre. II peut arriver qu'unc m6me figure appartienne & la fois ^ deux series lin^aires. Ainsi il y a un ellipso'ide de revolution qui est eix mdme temps un ellipsoi'de de Jacobi,

Je me suis alors propos<§ de rechercher s'il existe.des series llnc^aires de figures d^quilibre parmi lesquelles il y en ait une qui se r^duise «i un ellipso'xde.

(:) QEuvres de JJ, Poincard, ce Tome, p. 17-

SUR L'tfQUILIBRE D^UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 35

On arrive ais^menl au resultat suivant : Soient p, \/p'2 — 62, \/p2 — c2 les trois axes de Vellipsoide, et soil R une fonction de Lame quelconque. On devra avoir

Reciproquement, on arrive a demontrer que, si, pour une des foncttons de Lame, les axes d'un ellipsoide de revolution ou d'un ellipsoide de Jacobi satisfont a liquation (i), cet ellipsoide appartiendra non seulement & la serie des ellipsoides d'equilibre, mais encore a une autre serie lineaire de figures d'equilibre non ellipsoidales.

J'ai discute les equations (i) dans le cas des ellipsoides dc re volution aplatis. Posons

£ = 0, C = I, p = \//C-H-lj

(l"=0, I, 2, ..., 71).

Nous n'aurons a consid^rer que les valeurs de n au moins £gales a 2. Nous trouverons que liquation ( i ) n'a pas de racine quand i -f~ n est impair et en a une, et une seule, quand i+n est pair. Ainsi a tout systeme de nombres entiers i et 71, tels que

n > 2, i^tt, ^o [z'ss n (mod 2)]

correspond une s^rie lin^aire de figures d'equilibre. II faut faire exception pour le cas de ** = o, n = 2; la racine de liquation (i) correspondante ne donne pas de s6rie nouvelle de figures d'6quilibre. Elle correspond a Tellip- soide de revolution dont la vitesse de rotation est maximum. Dans le cas de i = n = 2, on retrouve les ellipsoides de Jacobi.

Si j*=:o7 les figures d^quilibre correspondanles seront de revolution. Elles ne le seront pas dans le cas contraire.

Le m£me proc6d£ peut servir pour determiner les conditions de stability de Fellipsoide de revolution. MM. Tait et Thomson ont annonce que les ellipsoides de revolution que Ton rencontre, en partant de la sphere et en allant jusqu'a celui qui est en meme temps un ellipsoide de Jacobi, sont tous stables, et que les autres sont seculairement instables.

Pour etablir ce resultat, il suffit de montror que, parmi toutes les

36 SUR L'^QUIUBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Equations (i), celle qui a la plus granule racine est cclle qui correspond au oas de i = n = a, ou bien encore que tons les rapports

vont constamment en croissant quand A* croit de zdro a 1'infini. Or cela est

& verifier.

II est possible que les series liniaires de figures d'c^quilibre quo j'ai signalizes plus haut coriliennent des figures stables; inais il est certain au moins que celles de ces figures qui different peu de Pellipsoide, et qui sont les seules que nous connaissions un peu, sont toutes se,culaireinent instables (a rexreplion, bien entendu, des ellipsoi'des de Jacobi).

II y aurait int^r^t a ripeter, pour les ellipsoi'des dc Jacobi, la discussion que je vieus de faire pour les ellipsoi'des de revolution, d'nutant plus que, panui les figures d'6quilibre que Ton d^couvrirait ainsi, il y en a qui sont slablos* C'est ce que je chereherai i\ faire dans tint1 Communication ulttfrieure, si FAcad^mie veut bien le permeltre.

SUR

L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMEE D'UN MOU YEMENI DE ROTATION

Comptes rendus de VAcademie des Sciences, t. 101, p. 807-809 (27 juillct i885).

Dans une Communication faite a FAcad6mie le 20 avril i885 (*), j'ai montr£ qu'une masse fluide homogene, soumise a Fattraction newtonienne et anim6e d'un mouvement de rotation, £tait susceptible d'une infinite de figures d^quilibre, outre celles qui sont ddja connues. J'en ai d^fini un certain nombre qui, sans £tre ellipsoi'dales, different infinimentpeu d'un ellipsoide de revolution, J'ai montr6 que ces figures nouvelles 6taient instables.

J?ai reconnu depuis qu'il existe ^galement des ellipsoi'des de Jacobi apparte- nant en m£me temps a une s6rie lineaire de figures d'^qnilibre non ellipsoidales.

Soient p; \/p2 — 62, \/p~ — c2 les trois axes de I'ellipsoide; soitR une fonction de Lam6 quelconque de p; soit

la fonction S conjugu^e de R d'apres la notation de Liouville, Nous distin- guerons les fonctions

ainsi que les fonctions RD? R/,, . .., Rrt) ... d^finies comme il suit : la (*) Q&uvres de H* Poincare, ce Tome, p. 34-

38 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

fonction Rn sera une fonction de Lame d'ordro n ne eontenant en facteur n{ y/p2_ C25 nj ^/pa_^2 eL nc stimulant quo pour des valours de pa comprises entre z&ro eL 62. Pour toute valour /i, il y en a ton jours une el une seule; S^ S2, S3, . . ., Sw seronl alors les fonclions conjuguees de I\l5 1\2, • * * ? ^w Cela pos6, tout ellipsoi'de de Jacobi salisfera a la condition

K,Si _ Ha SB

_ _;

s'il satisfait en outre a la condition

il appartiendra a la ibis a deux series lintSaires de figures d'^quilibrc : n savoir, la s6rie des ellipsoidcs de Jacobi, eL une serie de figures S« non ellipsoidales. Quel qne soil n, il y aura lonjours un cllipso'ide de Jacobi salisfaisant a la condition (i). Nous a^ons done d^montrd Fexislence d'une infinite de iigures dV-quilibre nouvelles 2S, 3,^ . . ., S/t.

La figure 2rt a mdmes plans de syrmHrie que 1'ellipsoide si n osl pair; si n esl impair, elle est sjm^trique par rapport aux plans des xy ei des .rs, mais non par rapport au plan des ys.

Les figures 2:J sont stables, loutes les auires sont insiableH.

Les ellipsoi'des de revolution sont stablos, s'ils sont moms aplatis que colui qui est en mfime temps un ellipsoi'de de Jacobi (c'cst ce que sir W. Tliomson avait d^ji d<Smontr6 en supposant qu'on imposait a la masse lluide c.onnnc liaison la condition de rester ellipsoulale; ceiie condition n'ost pas n^ccssnire). Les ellipsoi'des de Jacobi sont stables s'ils sont moms allonges (suivaut le grand axe) que celui qui appartient en mfime temps a la s^ris des figures 2a.

Pour r^sumer les r6sultats obtenus/faisons Phypothfise suivante :

Supposons une masse fluide homogfine, se conlractant par un refroidisse- ment, et imaginons que ce refroidissement soil assess lent pour qu'ellc conserve un mouvement de rotation uniform e dans toules ses parties et que ?homog£n(Ml(li subsiste constamment.

II arrivera alors que cette masse, d'abord presque sph^rique, affeclera In forme d'un ellipsoi'de de revolution dont Pcxccntricitd ira sans cesse en croissant, jusqu'd. ce qu'elle atteigne la valeur 0,8 1 ; la masse deviendraensuile un elUpsoide de Jacobi, puis une figure £9. Pour expliquer grossierement la deformation 'qu'elle subit alors, imaginons que I'ellipso'ide soit coup<5 en deux

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION, 3g

moiti^s par un plan perpendiculaire au grand axe. En devenant une figure 23, Pune des moiti^s de Tellipsoide s'aplatira et se rapprochera de la forme h6mi- sph^rique, Tautre moiti6 s'allongera au contraire de plus en plus. II est difficile de dire ce qui arrivera ensuite si le refroidissement continue, mais Fexamen des figures 23 porte a croire que la masse ira en s'^tranglant dans sa petite moyenne pour se partager ensuite en deux masses isolees et in^gales.

SUR

L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE ANIMEE D'UN MOUVEMENT HE ROTATION <•">

Actff Matfiematiaa, t. 7, p. 25;)-38o (if> neptcmbrc ?8S5)

TABLE DES MATIERES.

J. Introduction. 4 1

II. Kquilibre de bifurcation * l\\

III. ^change des stabilit,6s fx>

IV. Gas d'un nombre infini de variables /)f>

V. Premiere application : figures annulaircs ...,...» <>yi

VI. Exemplcs d^tjuilibres de bifurcation. , Gy

VII. Stabilite de r6(juilibre relalif 70

VIIL Fonctioris de Lam^ 76

IX. Determination des coefficients de stability 86

X. Discussion de liquation fondamentale t>3

XL Ellipso'ides de revolution 98

XII. Ellipsoi'des de Jacobi 107

XIII. Petits mouvements d'un ellipsoide 1 13

XIV. Stabiliid des ellipsoi'des 127

XV. Conclusions , 189

(l) Manuscrit remis le 16 juiDet i885.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 4l

I. — Introduction.

Quelles sont les figures d'equilibre relatif que pent affecter une masse fluide homogene dont toutes les molecules s'attirent conformement a la loide Newton el qui esL animee autour d'un certain axe d'un mouvement de rotation uni- form e ?

Quelles sont les conditions de stabilile de cet equilibre?

Tels sont les deux problemes qui forment 1'objeL de ce Memoire.

On en connait depuis longtemps deux solution : Fellipsoide de revolution et 1'ellipsoide a trois axes inegaux de JacobL Je me propose d'etablir qu'il y en a une infinite d'autres,

Mais je vais avant d'aller plus loin signaler un certain nombre de r^sultats que Ton trouve dans le Treatise on Natural Philosophy de MM. Tait et Thomsou, 2° Edition, §778- Sir William Thomson enonce la plupart de ccs propositions sans aucune demonstration; pour quelques-unes d'entre elles, il renvoie a des Memoires plus etendus ins6r^s au Philosophical Transactions.

Voici ces r^sultats, qui doivent nous servir de point de depart.

a. L'ellipsoVde de revolution aplati est une figure d'equilibre toujours stable, si Ton impose a la masse fluide la condition d'affecter la forme d'un ellipsoide de revolution.

b. Si nous imposons a notre masse la condition d'etre de revolution, mais non plus celle d'etre ellipsoidale, on trouve, si le moment de la quantite de mouvement est assez grand, deux figures d'equilibre : une figure annulaire qui est stable et une figure ellipsoi'dale qui est instable. (Nous verrons dans la suite de ce Memoire qu'il y en a une infinite d'autres parmi lesquelles il j en a de stables grace a la condition imposee a la masse de rester de revolution.)

c. II existe egalement des figures d'^quilibre, probablement instables, ou la masse se subdivise en plusieurs anneaux concenlriques.

d. La figure annulaire d'equilibre est stable si Ton impose a la masse la condition de rester de revolution, et probablement instable si Ton supprime cette liaison.

e. Si Ton impose a la masse la condition d'etre ellipsoidale, mais non d^tre de revolution, rellipsoi'de de revolution est stable, si Fexcentricite estinferieure a 0,8127 et instable dans le cas contraire. (Nous verrons dans la suite de ce

H. p. — vii. 6

42 SUR L^QUILIBRE D'tJNE MASSE FLUIDS EN ROTATION.

M6moire que les conditions de stability roslent les mcmes si Pon nt1. s'impose aucune liaison.)

L'ellispoi'de de Jacobi est loujours stable, si Pon impose a la masse la condition d'etre ellipsoid ale.

/ et g. L'ellipsoi'de de Jacobi, si Ton ne s'impose aucune condition ost certainement instable dans corlains cas, biou qu'il soil probablement stable dans d'aulres. (Nous dcSmontrerons dans la suite do ce Memoiro qu'H v a effectivement des ellipsoides de Jacobi qui sont stables.)

Une autre forme d'£quilibre stable, si le moment de la quantity de mou- vetnent est assez grand, sera celle ou la masse se subdivide on <leux corps isoles, comparables a one plancto et un satellite d«nl los vi tosses de rotation seraient 6gales entre elles et a cellos de revolution.

h. II existe 6galoment des configurations on le iluide se subdivide en plus de deux masses d4tach(5es, mais elles sont Jnslables.

L II snbsiste une importante lacune entre le plus grand moment de la quantit^ de mouvement qui correspond a un ellipsoi'de de Jacobi stable ot le plus petit moment qui correspond a IVupilibre stable de deux masses Isoldes. II y aurait int^ret u combler cetle lacune par cles figures mtcrm^diaires. (J?ai fait £ la fin de ce M<5moire une tentative dans ce sens, mais je n'ai r^ussi pour ainsi dire qu'a amorcer le probleme et & indiquer la voie a suivre.)

j. Si P<£nergie avec un moment donnt's est un minimum on un maximum, l^quilibre est stable, pourvu que le liquido soil parfnitemenl drtpourvu de viscosit6. II est probable qu'il est inst{)]>le si l'6nergie est tin « minimax » mais cela n'a pas encore ^t^ d^montreS. (Nous verrons dans la suite de ce Mfanoire un exemple oil l'(5quilibre esl stable & ia condition que lefluidc smlabsolument d^pourvu de viscosit6 et bien que I'^nergie soit un « uiinimax»).

k* Si le liquide est visqueux, et si peu qu'il le soit, l^quilibre sera certainement instable si P<5nergie est un maximum ou un minima*, et certaine- ment stable si elle est Tin minimum.

Je donnerai dans la suite de ce travail la demonstration de quelqxies-unes des propositions que sir William Thomson avait senlemenl ^nonc^es, et je les compUterai m^me sur divers points, comme je Pai d6j^ iadiqu^ dans les parentheses que j'ai int*erca!6es dans le pr6c6dent expos^.

Je d^montrerai aussi Pexistence de figures d'^quilibre tout ^ fait diffdrentes de celles dont parlent MM. Tait et Thomson.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 43

J'ai d6ja donne dans le Bulletin Astronomique (d) une courte Note ou j'cHudie plus en detail 1'anneau simple ou multiple dont il est question dans le passage cit6 plus haut (6, c et d).

Dans cetle 6lude, je me suis rencontr£ avec Mme Kowalevski qui avail d£ja employ^ les m£mes proc^d^s d'analyse dans un Memoire sur 1'anneau de Saturne, qui avail <H6 communiqu^ en 1874 a l'Universil6 de Goltingen eL qui nja 6l6 imprimd qu'en i885 dans les Astronomische Nachrichten*

II. — fiquilibre de bifurcation.

Consid6rons d'abord le cas ou il s'agit d'un ^quilibre absolu et d'un sysleme donl la posilion esl d^finie par n quanlit6s x*, #2. . . . , xn* Supposons qu'il y ait une fonclion des forces F(#i, ^r2? «• • - ? &n) &e fagon que T^quilibre ait lieu quand loules les d6riv6es de cette fonction s'annulent et qu'il soit stable quand cetle fonclion est maximum. Je supposerai qu'outreles quantil6s#l5 x<^ ..., Xn, il enlre dans la fonction F un parametre variable y, de telle sorle que les valeurs des x qui correspondent a 1'^quilibre dependent de ce parametre JK-

Supposons que y ail une valeur d6terrnin6e; les Equations d'6quilibre :

dF_ _ _^F __ _ dF __ ^ ' * " ~

auront un certain nombre de racines; quand on fera varier y, (si F est une fonclion holomorphe des x et des y, ce que nous supposerons d'abord), ces racines varieront d'une maniere continue. Nous aurons ainsi un certain nombre de series lin^aires de racines :

#1—911 00, #2=9i200> •••» ^=9i«(y);

Dans chacune de ces sdries lin^aires, ^1} x^ ...,xn sont des fonctions continues du parametre y. Pour cerlaines valeurs de y, deux ou plusieurs racines peuvent se confondre. Quelle est la condition pour qu'il en soit ainsi?

Soit A le determinant fonctionnel des n d6riv£es — > -^3 •'•'•jg- Par rapporl aux n variables xi, x^ . . . , xn, ou> en d'autres termes, le hessien de

0) CEuvres de H. Poincare^ ce Tome, p. 17.

44 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

la fonction F par rapport a ces n variables. La condition nicessaire el suffisanto pour que deux ou plusieurs racines se confondoul, eVst que A soil mil.

Supposons que pour une certaine valour a do^v, pour laquollo A s'annule, p racines des equations (i) vionnenl a se eoiifondre, ou on d'autres tonnes, qu'une meme racine appartienne a la fois a /; series lindaircs. Parmi les p racines qui appartiennent a cos/? series lintaircs, il Y on aura luy qui seronl imaginaires et p — %q qui soronl rdolles pour;)' < a; il y en aura d'aulre part 27' qui seronl. imaginaires et/> — 2/' qui seronl reelles pour j" >> a.

Si p = 2, q = /' = o, les racines des deux series lineaires sonl reelles, el Ton a ainsi une racino qui apparlienl & la fois a deux series niellos.

Si p = 2, q = o? r = i , les racines sonl toules deux reelles pour j- <C cc? el toutes deux imaginaires pourjr >• «• Quand j- en croissant alleinl ot dopassela valeur a, deux racines reelles se confondenl, puis deviennent imaginairos.

Si p = 3? q = /" •»= i , il y a pour %r < a ol pour y >> a, une racine roelle el deux iinaginaires, de sorte que la racine qui correspond i\y^a n'appartient qu'A. une seule s6rie rdelle. Mais il est ais<5 de voir dans ce cas que A s''anntile sans changer de signe.

II est inutile do citer d'autres cas parliculiers, j'arrivc tout de suite au r6sultat g6n6ral que j'ai en vue. Soil

une s^rie lin^aire de racines; 91, 93, . . ., 9^ olant des fonclions continues ct uniformes dej". Supposons de plus que pour les valours de ;r voisincs de a, qu'elles soient inf^rieures ou sup6rieurcs u cette quauliu^ les fonclions 9^, 9s* • * • * ?«' resient reelles. Si Ton substiluo dans A(,ri, ^a, . . .,.r/ij t>'), o-j, 92, . . . , 9/1 a la place de a?<2 x^ . . ., &n,, celte fonction A no d^pendra plus que de y. Je suppose que pour jr=a, la fonction A(/) change do signe, Je dis alors que la racine 91 (a), 9a(#), . • .^ 9«(«) nppnrliondra non sotilentcnt c\ la s6ric (2) mais & une aulre s6rie Iin6aire de racines rcielles. Avant de d6montrer ce rdsultat gcSniral, donnons quelques exemples* Soil

F = A#f H~ -xxl II vienl pour les Equations d'iquilibre :

&l 5=5 0,

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 45

Pour les valours de y comprises entre z£ro et — - a les valeurs de #2 sont imaginaires; elles sont reelles pour les autres valeurs de y. Pour y~o, et pour y = — a, les racines passent du r£el a Fimaginaire ou r^ciproquement; cjest aussi pour ces m£mes valeurs que A s'annule.

Faisons en particulier : a = o; il j aura deux series lin^aires de positions d^quilibre :

(2) #1=0, #2 = 7

et

(3) #i=o3 #2 = — r-

Consid^rons la premiere de ces series; pour chacune des positions qui lui appartiennent on aura

A

Quand y variera depuis — oo jusqu'a -(-co, les valeurs de x{ et de #2 resteront reelles, mais quand y passera par z6ro, A changera de signe. Done en verlu du principe que je viens d'^noncer, la position d'^quilibre qui correspond ^L la valeurjK — o, c'est-a-dire

X\_ = O, #2= O,

appartiendra non seulemenL a la s^rie (2), mais encore a une autre s^rie Iin6aire de positions d'^quilibre. II est aise en effet de constater qu'elle appartient ^galement a la s£rie (3). Soit maintenant

F = Les Equations d'^quilibre deviennent

II n'y a qu'une s^rie de positions d'equilibre reelles, ci savoir :

#1 = 0, ^2 = y7

et Ton voit que ces positions restent reelles quand y varie de — oo & -+-co. A.ucune de ces positions ne peut done appartenir & plusieurs series de positions d;6quilibre r6elle$ comme cela avait lieu tout & Pheure. Cependant

syannule pour y = o, mais sans changer de signe.

Pour dchnontrer ce principe que je viens d^noncer et d'illustrer par quel- ques exemples, je supposerai que n = i: de telle facon que je n'aie plus que

46 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

deux variables : x qui defmit la position da systemc et le paramtHre y. ( )n aura

_ /AF

et liquation d'^quilibre sera

Liquation F'f^j) = o pourra £trc considiirec eomme represenlant une courbe plane C. Soil a? = <p(y) une function uniforms, reelle, lime ot continue satisfasse & liquation

Liquation # = op(y) reprdsentera alors une des branches li do la courbe C. Soit M(# = a, y = (3) tin des points de cello branche de courbe. Supposons que lorsqu'on suit cetle branche de courbe, on vote A changer de signe au moment ou Fon franchit le point M. Je dis qu'il passera par le point, M une autre branche de la courbe C.

Soient en eflfet P le point de la branche B qui a pour ordonutf e y = ^ — e <»i Q le point qui a pour ordonnee y = p-+-e(e (Hunt ires petit), Cos deux points sont niels, puisque par hypothese cp(jr) csi une fonclion r<Sello de y. Jo suppo.se

par exemple qu'au point P, -j-^ = A soit posilif, et n^galif au point Q,

Par les points P et Q, je mene des paralleles a Faze des # el jtj prends sur ces paralleles deux points l>f et Q; a gauche de P et de Q. Au point P, -^ est

nul et-^-v positif; done si le point P' est assex voisin de P, la d<!riv6e premiere

CtHC" //P

-T- y sera negative. On verra de la meme fac;,on que si le point Q' est assc/*

voisin de Q, -r- y sera positive. Allons du point P/ au point Q' eu suivant une courbe qui s'^loigne tres peu de la branche 13, uiais qui ne coupe pas cette branche; cela est toujours possible. Nous verrons ~ chaixgor de signe; il faut done qu'^i ua certain moment -r- s'annuie et par consequent que nous traver-

sions une branche de la courbe G. II y a done une seconde branche de cette courbe qui vient passer par le point M.

En d'aulres termes, ce point M est au moins un point double dela courbe C; je puis m&me affirmer que c'est un point multiple d'ordre pair.

II est a remarquer que dans la demonstration pr6c6dente, nous a'avons pas ^t^ obliges de supposer que la fonction F est holomorphe, mais seulement

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 47

qu'elle est finie et continue ainsi que ses d6riv6es des deux premiers ordres. 11 y a ua cas particulier sur lequel il est necessaire d'attirer 1'aitention. Soit

Nous avons une premiere s6rie de positions d^quilibre r6elles qui nous sont donn6es par liquation # = o. Comme A s'annule avecy, il doit passer par le point x=y = o une seconde branche de la courbe G et en se reporlant a la

<^P valeur de -T-? on voit que cette seconde branche n'est auLre chose que la droite

y — o. Gette droite ne repr^sente pas une s6rie lin^aire de positions d'^quilibre analogue a celles que nous avons rencontr^es jusqu'ici. C'est une s&rie de positions d'equilibre indifferent; car si y s?annule, l^quilibre subsiste quel que soit x.

Supposons maintenant que la fonction F ne contenant toujours qu'une seule variable a?, d^pende non plus d'un. seul parametrej^, mais de deux param^tres y± et JK2' Nous pourrons regarder x, y± et y2 comme les coordonn^es d'un point dans Fespace; alors liquation

repr^sentera une surface S dont chacun des points correspondra a uue position d'equilibre.

Liquation

d^

A= -r-r = O

dx^

repr^sentera une seconde surface S'. Supposons que Ton considere une nappe N de la surface S repr6sent6e par une Equation

ou 9 est une fonction finie, continue et r£elle deyi et dejKa- Supposons que cette nappe soit couple par la surface S' et de telle sorte que A change de signe quand on traverse la surface S' en suivant la nappe N. Alors la courbe d'inter- section de N et de S' est une courbe double (on multiple d'ordre sup&rieur, mais pair) de la surface S, par laquelle vient passer une autre nappe N7 de cette surface S.

11 suffit en effet pour etre ramen6 au cas d'un seul param<Hre, de supposer une relation lin^aire

48 SUR L'£QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION*

ou en d'a utres termes, de coupor les surfaces S el S' pur un plan quelccmque

parallele u 1'axe des x.

On arriverait (Svidemment a un- nisullal analogue dans Ic cas ou I'on aurait p paramelres y* , 73, . . . , yf>.

Supposons maintenant 71 = 2; de tclle far. on quo nous ajons deux variables os\ et #2 dcifinissant la position du sysleme, ct un soul pnram<>tro y. Jo regar- derai alors #1, x^ et v commc les coordonn<$es d'tm point dans I'ospace. Les Equations d'^quilibre :

— = o — = o

f/JTi ~~ )? fte'l *"""

repr^senteront alors deux surfaces Si el Sa dent 1'intersection sera tmc courbe gauche C. Soicni

(4) ^i = ?iO'), .^=9fl(.r)

deux fonctions finles, continuos el rcScllcs dcM' ot snppo.sous (jue cos Equations (4) repr6sentent une brancho B de la cotirbo C. Soit M un point de cello branchc B; snpposons <fuo si Ton suit la brancho B dans Ic scn.s dcs y croissants, on voie A changer de signc au inoinenl ou Ton fraiiclut lo point M. Soient P et Q deux points do B ajant pour orcl ounces y^^fj -- e; %r ~(3 +•£; (lyordonn(§e du point M etant y^r-(3). Au point P, A sera par cxmnplc posi(if9 et ncSgatif au point Q.

S'il en est ainsi, je dis qu'il passcra par le point M une seconde braucho de la courbe C.

En effet, par les divers points dc I'arc do courbo P(j( falsons passordos plans parallelcs au plan des &iX% et dans chacun de ces plans d^crivons ime circon- f(5rcnce dc rayoa r ayant son centre au point correspoiulant do I'arc PQ. (les diverses circonf6rences engendrcront une cortamo surface i qui sera donble- ment connexe et Iimit6e par lea deux circonferenccs \\ et K' qui ont pour centres les points P et Q. De plus, d'apr&s ce mode de generation aucun point de la branche B ne pent se trouver sur la surface i.

l^ur trouver le nombre des points d;intcrsection do coltc surface 51 avoc la courbe C, il faut maintenant chcrchcr ce que M. KLrouocker appellc (Berliner Monatsberichte, mars t86g) la caracteristique du systeme des surfaces 2, S et Si. Le nombre des points d'intersection de ces trois surfaces (ou si Font veut de la surface 2 et de la courbe G) qui satisfont & cerlaiaes conditions, diminu6 du nombre des points d'intersection qui ne satisfont pas i\ ces m&mes conditions, est cSgal d'apr^s le Mimoiro cil6 de M. Kronccker ^ uae ccrtaine

SUR L'^QUIUBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 49

inlegrale. GeLle integrate est prise le long des limites du domaine 2, c'est- a~dire le long des deux circonf^rences K et K/.

L'espace pourra £tre regard^ comme partag£ en quatre regions a, 6, c, d suivant le signe des deux fonctions -r— et ^— Dans la region a, par exemple,

Ct 00 i CtOC 2

les deux fonctions seront positives; dans la region 6, -^— sera positif et —

n&gatif, etc. A £tant positif au point P, on rencontrera en suivant la circon- ference K les quaere regions dans Pordre circulaire abed, pourvu loute- fois que /* soit suffisamment petit. Nous supposons qu'on ail parcouru K de fagon a laisser a sa gauche le domaine 2. L'int^grale de M. Kronecker le long de K cst alors ^gale & i . A 6tant n^gatif au point Q, on rencontrera en suivant K' les quatre regions dans Pordre circulaire adcb, si Pon d6crit cette circon- f6rence dans le m£me sens que K. Mais si Pon veut laisser le domaine 5 a sa gauche, il faut d6crire K; en sens contraire et alors les quatre regions se succedent dans Pordre abed. L'int^grale est done encore ^gale a i etPint^grale to tale est ^gale a 2.

Le nombre des points d'inlersection de 2 et de C est done au moins egal a 2 ; et aucun de ces points ne peut nppartenir a B. Tl faut done que par Ic point M passe une seconde branche de la courbe C. c. Q. F. D.

(Dans le cas ou le lh<§oreme de M. Kronecker s'applique a une multiplicity

a deux dimensions et a deux fonctions X et Y, et ou par consequent son i grale doit etre prise le long d'une courbe ferm^e, on voit ais^ment que cette

Y int^grale est ^gale a la demi-diflf^rence du nombre de fois que = saute de — oo

Y

a -+• oo et du nombre de fois que ^ saute de -j- oo a — oo .

Le r6sultat s'6tcndrait sans peine au cas ou nous aurions un plus grand nombre de variables. Le th^oreme de M. Kronecker serait en effet encore applicable.

R6sumons les r^sultats de ce paragraphe.

Les formes dy<5quilibre du systeme consid^re sontdonn^esparles /liquations

dF_ ___ ^F _ _ j^F_ __ ct&\ dx% ' * * dxn

Ges n equations auront un certain nombre de solutions r^elles et quand y

variera d'une fagon continue, ces solutions varieront elles-memes d'une fagon

continue de maniere a former diverscs series lin&aires de formes d'&quilibre.

H. p — vn. 7

5o SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

11 pourra d'ailleurs arriver qu'une memo forme dVquilibre nppartieniie n la fois a deux ou plusieurs scries lindaires. Nous dirons alors <[ue c'cst \in*f or we de bifurcation. On pcul, en eflet, pour une valour de y infiniment voisino de celle qui correspond a cette forme, irouver deu.e formes dYupilibre qui dif- ferent infiniment pen de la forme de bifurcation.

II pent arriver igalemenl quo deux series lin&iiros de formes dYquilibre rielles viennent, quand on fait varior y, a se confondro, puis a disparallre, parce quo les racines des Equations d'dquilibre dcviunnenl imaginaires. La formo d'fiquilibre correspondanle s'appellera alors forme, limit?.*

Une forme d'equilibre ne pout 6tre une forme de bifurcation ou une forme limite qu'a la condition que A soil mil. tl n'\suHe de la quo si h»s Equations d^quilibre admettonl pour une cerlaine valeur de r une solution pour laquell^ A ne soit pas nul, olios en admeitront encore une el infiniment pen diflrrente de la premiere, pour les valeurs do y sufiisammeiil voisincs de cello que Ton avail consid^rde d'abord. En effet s'il n?on dlail pas ainsi, la forme d'equilibre qui correspond a la premiere solution serail une forme limite, ce qui exigerail que A fut mil.

Si Fon suit une serielin^aire de formes dYquilibre rdolles en faisant varior y et que Ton voie A s'annuler el changer de signe, la forme d'6(iuilibre corres- pondanle ne pcul elre une forme limite puisquo Itis formes d'6quilibrc ires voisines qui appartiennenl a la s6rie lindaire sent suppost^es roolles. 11 r6sullo de ce qui prdc6de que c'est to uj ours \w\& forme de bifuTwttion.

Si, enfin, en suivant unesdrie lindaire de formes rrtelles, on voit A s'aunulor, mats sans changer de signe, on esl s\lr, pour La rmison quo jo vions do dire, que la forme correspondante n'est pas une forme limite. Elle peut <Mre une forme de bifurcation, mais il n'en est pas loujours ainsi.

III. — ^change des stabilit^s. Consid^rons la forme quadratique

contenant les n ind<5termin4es Xi, X2, . , ,, X,/,. Cette forme aura pour dis- criminant A.

Pour que Teq-uilibre soit siable, il faut et il suffil (puisqu3il s'agil d'un dqui-

SUR L'£QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION, 5i

libre absolu) que la fonction des forces F soit maximum, c'est-a-dire que la forme <S> soil d&Snie negative.

Imaginons qu'on ait d6compos6 la forme & en une somme de n carres :

ou Yf est une fonction lineaire des X. Supposons que parmi les coefficients a, que j'appellerai coefficients de stabilil^, il y en ait v positifs et n — v n^gatifs. A sera positif si n — v est pair, et n^gatif si n — v est impair. A sera nul quand an des coefficients a s'annulera. Enfin il j aura stability si tous les coefficients de stabilite sont n6gatifs. II est inutile de faire observer que le nombre v est iudependant de la maniere dont la forme <D a 6l£ decompos^e en carres.

Supposons que pour o?i = #2^, . . — #n = o: y-^ o, on ait une forme d'^qui-

libre de bifurcation, c'est-a-dire que les n d^rivees partielles -r— s'annulent ainsi que A. Je dis qiie nous pourrons toujours supposer que Ton a aussi

Eneffet, cela revient a dire que la forme <J>ne contient pas de termes rectangles; or, s'il n'en 6tait pas ainsi, on pourrait toujours decomposer la forme $ en carr£s, comme on Fa dit plus haut, c'est~£hdire qu'on pourrait, par une trans- formation lin^aire, faire disparaitre les termes rectangles. Les coefficients de

stability sont alors -r— ?*' TTT' • * * ' "TTT* Pour que A s'annule, il faut et il suffit qu'un ou plusieurs de ces coefficients s'annulent. Supposons par exemple que -r^- s'annule et que les a-utres coefficients ne s'annulent pas. Supposons enfin

que la fonction F soit holomorphe et puisse se d<5velopper suivant les puissances de x et de y.

De liquation -7— = o nous tirerons x* en fonction holomorphe de a?*,

^ a,z?2

^3, . . . , Xn ety. Pour que cela soit possible, il suffit que -T-T ne so^ Pas nul? ce qui a lieu en effet. Substituoris ensuite partout a la place de #2 la yaleur ainsi trouv^e. De liquation -7— = o, nous tirerons ensuite #3 ea fonction

* airs

/T^2 T7

holomorphe de 3?i, ^A, . . . , xn ety, Cela est encore possible parce que -^ n'est pas nul. On continuera de la sorte jusqu'a ce qu'il ne reste plus que deux variables x\, et y et une seule Equation d'^quilibre -r— = o. Quant a #2)

52 SUE 1/liQUlLlBtfE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION,

,r,», .... #/i, les autres equalions d76quilibre, r<Jsolues eomme on vieixt dire, les fournissent sous la forme

(.0 •>*.! = 9a(^i,y), •£;:= = s( ."i, .)' J: ..... ''// - ?n(.'*i, .> ,K

les cp etant holomorphes.

Quanta liquation -TT- = o? elle s'dcrira, loutes reductions fakes,

~~ f< iff |

( 2 ) o = n x\ -\ - a b ,/;,

0 represenLant un ensemble de termes de degr6 sup6rieur au second en x{ ot j". On voit que si #,. et y sont les coordonn^es d'un point dans un plan, eetle Equation repr^sente une courbe a point double, ce qui montre de nouveau que la forme d'^quilibre consid^rio esl une forme de bifurcation. Nous sup- poserons ( ' )

/;• — nc ^> o.

Nous tirerons alors, de 1'riquation (2), .r4 eu ibnclion dej- de deux inauieros dijff^rentes

les cjj 6tant holomorphes, Les deux Equations (3) joinles aux equations ( i ) noms donnent les deux series lin<Saires de forme d'tfquilibre.

Formons A el consid^ronsle d'abord comme fonction de #<, %.2 x,, et >\

En remplagant #2 #n par lein^s valeurs tiroes des Equations (i), A no sera

plus fonction que do #4 et de y et Ton recorxnaitra ais&neut que

A = a M ( ^^i 4- ^r ) -H At ,

M Slant le produit des n — i d6riv^es —,, —,, * . • , ~ ot At <Uant un ensemble de termes de degrti suptkieur au premier.

Liquation A = o repr^sentera alors une couj*b(j A passant pur 1'origine dans le plan des x, y et liquation (a) veprcisentera une courbo C formic de deux branches B etBr. Les Equations de ces deux branches de courbc qui nc soul autres que les Equations (3) pourront s?(5crire

' b • * \Jb* - «c \ , \

-t- 1 21

(*) Si £3— ac est nul, la forme d'equilibre est on general une forme iimite; cepondanl «ll«t est de bifurcation dans certains cas exceptionnels. (J. L,).

SUR L^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 53

Y^ et Y2 <itanldes termes de degre sup^rieurau premier. Si dans P expression A on remplace x\ par ^ (y) ou par fy*(y), on trouve

A = zfc 2 M \

A2 repr^sentant un ensemble de termes de degr6 sup6rieur au premier. Le signe -+- se rapporte & la substitution de <|/,, c'est-a-dire a la branche B el le signe — H la substitution de d»2, c'est-a-dire a la branche B'.

Ainsi; que Ton suive la branche B ou la branche B', on verra A changer de signe en meme temps que y. De plus pour toutes les valeurs de y, voisines de z&ro, A a des valeurs de signe contraire, selon qu'on suit la branche B ou la branche B'. Par exemple, pour y positif, A sera positif sur la branche B et n^gatif surla branche B'; pour y n^gatif, ce sera le conlraire, A sera n6gatif sur la branche B et positif sur la branche B',

Supposons qu'a Porigine, un des coefficients de stability soil nul (ce qui est conformeaPhypothesefaiteplus haut), que v de ces coefficients soient n^gatifs et n — v — i positifs. Dans le voisinage de Porigine, il y aura toujours (par raison de continuity) v ou v -4- i coefficients de stability n^gatifs. Si v est pair, il y en aura v loutes les fois que A sera positif et v 4- i toutes les fois que A sera n^gatif. Ce sera le contraire si v est impair.

II r^sulte de 14 que, si pour y positif, on a v coefficients n6gatifs sur la branche B et v + i coefficients n^gatifs sur la branche B', ce sera 1'inverse poury n6gatif et Ton aura alors v -j~ i coefficients n6gatifs sur la branche B el v sur la branche B'. Si au contraire on a pour y positif, v-f-i coefficients n£gatifs sur la branche B et v sur la branche B(, on aura inversernenl, pour y n^galif, v coefficients n^gatifs sur la branche B et v + i sur la branche B'.

Pour qu'il y ait stability il faut et il suffit que tous les coefficients de stabi- Iit6 soient n^gatifs. Si done pour y positif il y a stability sur la branche B et instability sur la branche B'; ce sera 1'inverse pour y n^gatif. De m&me si pour y positif il y a instability sur la branche B et stability sur B;, ce sera encore 1'inverse poury n^gatif. En d'autres termes, il y a ^change des stabilit&s entre les deux branches B et B; au moment ou elles se croisent.

Pour £tablir ce r^sultat, j'ai suppos^, non seulement que F ^tait continue ainsi que ses ddriv^es des deux premiers ordres, mais encore que cette fonction 6tait holomorphe. Cette hypothese n'est nullement n^cessaire. Pour le faire voir, je vais reprendre le raisonnement en supposant n — i .

Dans ce cas, la courbe C se rdduit a une courbe plane el A a •^5-' Soil O le

54 SUR L'EQWLIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

point du plan qui correspond a la forme d'iSquilibiT do bifurealiou. Du point ( ) comme centre, dticrivons un ccrclc K de rayon Uvs petii, He cerclo Iv reneon- trera la courbe C en un certain nombro de poinls. II rfisullc An raisonm'inenl du paragraphe pr<5c6dent, quo si un arc de courbe joint deux points do C cm h signe de A/ ne soil pas le infimo, col arc devra couper la courbe C en un nomhre impair de poinls; el qua si an contrairc Ay a xn^mc signe aux deux extremes, Fare de courbe consider6 devra couper G on un nombre pair do poinls. Done si 1'on envisage lesdiflferenis points d'inlerseciion de C otde K dans I'ordreou i'on rencontre en suivani le corcle K, on verra quo Ar y sera aliernntivommitposilii et nfigatif. Le nombre total des points d'inUsrsociion «st done pair. Si nous snpposons en particulier quo deux branches do eourbu soulomenl vicntumi passer au poinl O, nous aurons alors deux points d'inlorseotion a, el a* ou y sera nigalif et deux points d'inlerboction (3, oi (3a ou y sera posit if. La Immehe O(3i devra alors dire regarded commc le prolongeauont tie la brandies x^O, de m^me que O(32 comme le prolongemeni de oca(), J« suppose, pour fixer les id6es, quyeii'a,,? A soil posilif, Alors (Papresla jvgle qui precede, A sera nrtgatif en ocii? n^gatif encore en (3, et positif en (32? co qui coufirmo le rtlstillat pr^c^- deinoient obtenu. Tl serait aisA, d'aprfis les considerations que je viens d'oxposer, de voir ce qui se passeraii si plus de deux branches de courbes venaient passer

enO.

Nous avons dit plus haul que si ea suivant uae s^rie r<Selle de formes dVtfjui- libre, oa voyait A s'aanuler sans changer de signe, on ne pouvait affircnor qu« la forme correspondante fCit une forme de bifurcation. Nous pouvons rein a r- quer que A peut de deux manures s'annuler sans changer de signe. 11 pout arriver ou bien que plusieurs coefficients de stability s'annulcnt sans changer de signe; ou bien que deux (ou un nombre pair) de ces coefficients chaugeni de signe. Dans le premier cas, nous ne pouvons en. effet rien a f firm or j voyons ce qui se passe dans le second.

Nous supposerons pour fixer les id^es que

F

II arrivera alors que des n — a Equations d'6quilibre

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 55

on pourra tirer a?tj, x$} . . ., xn en fonctions holoniorphes de #1, #2 etjp. Si dans les deux autres equations d'equilibre

on substitue ces valeurs de a?3, a?,, . . . , xtlj ces equations deviennent

(4) <E>jH- <I>,= O, $', -f-$i = 05

ou <£| el O'j repr^sentent un ensemble de termes du deuxieme degr£ en x\) .#2, y et <3>2 et 4X2 un ensemble de termes de degr6 sup^rieur an second; (si 1'on suppose conime plus haul que la position d'^quilibre envisagee soit

Regardons o?1? ^2 etj^ comme les coordonnees d'un point dans I'espace. Les deux Equations (4) repr6senteront deux surfaces ajant chacune a Forigine un point conique du deuxieme ordre. L'intersection de ces deux surfaces sera la courbe C. On voit que par Porigine passeront quatre branches de la courbe C, r^elles ou imaginaires. Mais une de ces quatre branches est certainement r6elle, puisque j'ai suppos6au d^but qu'ona pu suivre, danslevoisinage de la position d'^quilibre envisagee, une s^rie de formes d'6quilibre r6elles. II faut done qu'il v ait une autre des quatre branches qui soit r^elle. La forme d'^quilibre envi- sag^e est done de bifurcation.

D'ou la conclusion suivante :

Pour qu'une forme d'equilibre appartenant a une s6rie Iin6aire r^elle soit de bifurcation, il suffit, non seulement que A change de signe, mais que Fun quelconque des coefficients de stability change de signe.

IV. — Gas (Tun nombre infini de variables.

Les problemes trails dans les deux paragraphes pr^c^dents ne pr^sentent aucune espece de difficult^. Malheureusemcnt, lorsqu'on recherche la figure d'^quilibre d'une masse fluide soumise a diverses forces/ la question est beau- coup plus compliqn^e. En effet, la ligur.e d'une pareille masse depend, non pas d'un nombre fini de variables #<, x^ ---- xn, noiais d'un nombre infini de variables.

Supposons par exemple une aire plane A peu diflferente d'un cercle ; liquation

56 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FUJIDE EN ROTATION.

de la eourbe qui limite cette aire plane pourra s'eerirt\ en coor

polaires (p et <p) :

to = r -h pi cos 9 -f- | h 7 1 sin 9 •+• '

les (3 et les y (Hani tres petits par rapport a r, el la figure do Paire piano d^pendra des coefficients r, (3 et y qui .sent eu nomhre miini.

Supposons que tous les dements de Paire A s'allireul on raison inxer.se des distances et en raison direelc de leurs surfaces. II rt'isuliera de cello attraction une <inergie potentielle W qui sera represented par Pintegrale suivanio :

\\r =

dte et dtof 6tant deux dloments quelcouques de Paire A el A la distance de cos deux elements. On reconnait alors que \V est une fonction holoniorpke de /% des (3 et des y. Jc veux dire que si L'on fait varier seuleiuont un nombre thii n de ces coefficients, les autres reslant oonstanis^ W «era une fonclioii holo- inorphe des n coefficients variables.

Supposons que les p el y 6lanl regard6s comme tres petits, on Pintdsgrale W en n<^gligeant les cubes des (3 et des y. On trouvera

On pourra tirer de la, la conclusion suivaute :

Si Ton suppose que Paire A soU assujeuie a ^trc t^quivalenie a uno a ire donn^e Trrjj de telle sorte que

et qu'en m^me temps (3< et y,, soient assujettis <\ ^tre nuls, le cercle dent le rayon est r0 sera une forme d\^quilibre de Paire A. On d^duit de (i) que

2

et en n^gligeant toujours les cubes des (3 et des y

II est d'ailleurs ais^ de voir que si Poix regarde W comme une fonction (Pun

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. £7

nombre iini des coefficients (3 el y, les autres coefficieats restanl constants, on

aura

( : }*

II r6sulte de la que la s6rie infinie

(n = 2, 3, ...)

joue le meme role que jouait la forme quadratique 4> dans le paragraphs c^dent, avec cette difference, qu'au lieu d'un nombre fini de variables X*,

X2. . . . , Xn, il y entre un nombre infini de variables (37Z et y;i.

Les coefficients de stability sont alors les quantit^s nr\(~ — ij. On voit

que tons ces coefficients sont n^gatifs, de telle fagon que P^quilibre est stable.

Get exemple permet de voir comment la notion des coefficients de stability peut s'etendre au cas ou 1'^quilibre depend djun nombre infini de conditions.

On peut de m£me ^tendre a ce cas la notion des formes d'dquilibre de bifur- cation et des formes d'^quilibre limite. Supposons en effet que les forces aux- quelles sont soumis les 6l6ments de Taire A dependent d'un param^tre^. Pour chaque valeur de y nous aurons un certain nombre de formes d'equilibre. Lorsque y variera, ces formes varieront aussi, en g^n^ral d'une maniere continue. On aura ainsi un certain nombre de series lin^aires de formes d'6quilibre. Pour chacune de ces series, les coefficients (3 et y seront des fonc- tions finies, continues, uniformes et reelles de y. II pourra arriver alors que quand y tendra vers une certaine valeur a, deux formes d'^quilibre reelles, appartenant a deux de ces series lin^aires, tendront,^ se confondre. Lorsque y aura d^passe cette valeur a, il arrivera, ou bien que les deux formes d^quilibre envisages disparaitront et cesserqnt d'etre reelles, ou bien qu'elles resteront r6elles et cesseront de se confondre. Dans le premier cas, on aura une forme d'6quilibre limite. Dans le second cas, une forme d'^quilibre de bifurcation. Rien n'est done change a ces definitions quirestent lesmemes que dans les cas pr6c6demment examines.

II reste a ^tendre les resultats du paragraphe precedent au cas qui nous occupe actuellement. II faut montrer que :

i° Pour une forme d'^Cjuilibre limite, Fun des coefficients doit s'annuler. H. p. — VII. 8

58 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

2° Si Ton suit une serie lineaire de formes d'6quilibre el si Ton vuil un coefficients de slabilil<$ changer de signe, la forme qxri correspond a la valour de y pour laquelle se fait le changement, do signe esl unu forme de hi furcation.

3" La loi de I'^change des stabilises sVlend an cas qui nous oecupe.

Nous demontrerons ces trois propositions <>n partant de I'hypo these sui- vante :

Le nombre des variables elant infmi} celui des coefficients de stability devra 6galement etre infini; mats je supposerai quv parmi /tf.v coafficf^nts^ f! n\r en a qu^un nombre fini de positifs.

J'appellerai #tj ^?a, , . . , %„,, . . . les variables qui d<5finissent la forme du systeme et y un para me ire dont dependronl les forces qui agissent sur ce sys- teme. Je supposorai que ces variables out <il/i choisie.s de l<dl(^ sorte quo pour la forme d^quilibre envisagee el que nous appellerons /V, on nil

Si dans la fonclion des forces F(^r, jr) on fail j'=:o, nous pouvons encoro supposer que les variables & aient 6lt^ choisies de telle sorle quo I'tm pxus.se 6crire, en n6gligeantles cubes des quantiicVs-^ supposees tr^s petites :

F(#, o) = A -H atiffjH- a!sa?|"H . . . -f- a,,#;;H- a/,.^1./:)} , t -i . . . -f- a /„/•;,•*- ----

Nous supposerons, conformdment il Phypothose faite plus haul, que parmi les 7t coefficients a1? a^, . . . , &.n il pent y en ovoir de positifs ou de nuls, inais que tous les coefficients suivants «/H 4> <xtl+.>, ...,«,,, ... sont n<5gatifs.

Avant dialler plus loin, je dois faire unc uutre rcmarquc. Quaud nous n'avions qu'un nombre fini de variables, nons regardions la fonciion P comme d6fmie pour toutes les valours de #; ou du moms pour toutes les valeurs stifii- sarnment petites de ces variables. II n'etx pout plus £tre de m^mcici. La tion F ne sera d^finie que quand une certaine sdrie a termes positifs

sera convergente. Le cboix des variables ^? <5umt encore arbitral re dans une cerlaine mesure, nous ponvons supposer qu'on les ait choisies de fa$on que lous les A soi^nt ^gaux ^. i .

Cela posd, nous pouvons passer 4 la demonstration des irois propositions ci-dessus,

ia Je dis d'abord que si aucun des coefficients & n'est mil, la forme A ne

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION 69

pourra etre une forme limite, c'est-a-dire que pour des valeurs de y tres peliles (mais d'ailleurs positives ou negatives), le sysleme sera susceptible d'une forme d'^quilibre tres voisine de cette forme A.

Pour le demontrer, je vais introduire dans le systeme des liaisons exprimdes par les Equations suivanles :

**. • • •; yn <5tant des constantes que nous regarderons com me donnees. Les conditions de Pequilibre du systeme, assujetli a ces liaisons, d^pendront naturellement du choix des n -+• i parametres y, }'i, y<±, . . . , yn et elles seront exprim^es par les Equations en nombre infini :

dF dF <W

Dans le cas particulier ou

y = ri = J2 = . . . = y,i = o, 1'^quilibre aura lieu pour

O = #/H-i = ^n+o = . . . = Xp = . . - ,

c'est-a-dire en meme temps que l^quilibre du systeme suppose libre. Mais il y a une difference importante entre les deux cas. L'6quilibre du systeme llbre est instable parce que parmi les coefficients a1? a2, . , . , a/l? il y en a de positifs. L'^quilibre du systeme a liaisons sera stable parce que tous les coefficients a/l+1 , anH_2, . . . , a^, ... sont negatifs.

Je dis que pour les valeurs des n -h i parametres y suffisamment voisines de z&ro, le systeme a liaisons sera susceptible d?une forme d'^quilibre stable tres voisine de la forme A. En d'autrcs termes; si Ton fait

(3) y = p, ri=pi, ..., yn=*$*>

on pourra prendre les (3 assez petits pour que la fonction F soit susceptible d;un maximum (en tenant compte des liaisons) et pour que ce maximum ait lieu pour des valeurs des x aussi petites que Ton veut.

Appelons en effet D le domaine comprenant tous les systemes de valeurs des variables xn+\ , ^n+a? - • * ; #>? - - * qui sont telles que la s^rie

(4) ~

soit convergente et ait une somme plus petite que e. La limite du domaine D

(Jo SUR 1/EQU1LIBRE D'UNE MASSE FLIIIDE F.N ROTATION.

se composera d'un domaine 3 compreuaul tons les systemes do.s valours des ,r tels que la s6rie (4) soil convergenle el ail une somme (igale a s.

Quand Ics y sont nuls, la fonction F esl 6gale i\ A. (juand les .7; soul mils, et, a A — £ ~h C quand les # appartiennenl au domaine 3 (£ 6iaul un infimmeut petit d'ordre superieur a celui do £). Donnons maintenanl aux r les valeurs (,'>). La fonction F (Slant continue, nous pourrons prendre les ;5 asses polils pour que F difl&re aussi pen que nous voudrons de A (juand les w sont nuls, ct aussi peu que nous voudrons de A — e •+ £ quand les x appartiennent au domaine o. On pourra done prendre les (3 assez petits pour que F soil plus grand quand les x sont nuls qu'en auoun point du domaine o,

11 en r6sulle que la fonction F prendra en certains points du domaine I) dos valours plus grandes qu'en aucun des points de la limite de ce domaiue. 11 faut done conclure qu'en un certain point du domaine D, la fonction F attaint un maximum. II est ndcessaire toutefois, pour que cette conclusion s'impose, <juo 1'on admeite que la fonction F ne va pas en augmentant indtMiniment a mesurc que la s6rie (a) devient de moins eu moius convergenle. 11 j aurait bien des objections a faire, mais on ne saurait exiger en M6cani(|ue la mdm<% rigueur qu'en Analyse pure pour ce qui concerne 1'inlini.

Le principe auquel nous sommes ainsi conduits pout s?<£noncer ainst :

Si un syst^me m6canique quelconque, el en particulier une masse iluido, est en ^quilibre stable sous Faction de ccrtaines forces, et si Ton vicnt ^ appliquer en outre des forces perturbatrices infiniment petites, ce syst<unc prendra sous Faction de ces forces uixe figure d'6quilibro stable infinimont pen diff^rente de sa figure primitive.

Je ne crois pas qu'on puisse le mettre s^rieusement en doute, malgr6 les objections dont je viens de parler et qui sont de naluro a int/^resser plut6t Fanalyste que le m^canicien.

Cela posd, la forme d'^quilibre stable du systeme 4 liaisons doit 6treregard6e comme d^finie; elle le sera, par example, par les Equations (5) ^+] = 9/i^](p7 ^, [32, ..., p;i); ^^2

Les fonctions 9 seront des fonctions continues des (3 etelles s'annulcrontavec(3 quelles que soient les valeurs de (34, pa, . . . , |3/t.

Si nous substituons dans F ces valeurs des #,H.I, xn+^ • . • , #>, . . . ? cette fonction ne d^pendra plus que de (3, (34, |32, . . , , (3n.

II faut maintenant chercher quelles valeurs on doit donner a (34; (3a, . , . , pn

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 61

pour que 1'equilibre subsiste (sans toutefois resler stable) quand on supprime les liaisons. 11 faut pour cela que Ton ait

En d'autres termes, il faut considerer que, les x £tant d^finis par les Equa- tions (5), la figure du systeme ne depend plus que des n variables j31? (32. ..., {3,,, et il faut chercher les conditions d'6quilibre du systeme ainsi d^fini.

Je veux faire voir que pour les vale UTS de (3 voisines de zero, ce systeme admet une forme d'6quilibre. Pour cela il me suffit, puisque ce systeme ne depend plus que d'un nombre fini de variables, de chercher les coefficients de stabilite pour (3 = o.

Or pour (3 = o, puisque les fonctions 9 s'annulent, on a

F = A -4- a, >? H- «2 pi -H . . - ~i~ «„ ^ -f- 7;

Z etanl un ensemble de termes d'ordre superieur an second par rapport aux ft. Les coefficients de stability sont done a1? ~s,*7 . . . , xrl et, comme aucun d'eux. n'est nul, la forme d'^quilibre considdr6e ne pent etre une forme limite, el l'6quilibre sera encore possible pour les valeurs de (3 voisines de z£ro.

Ainsi, m£me lorsque la forme du systeme depend d'un nombre infini de variables, une figure d'^quilibre ne peut^tre une figure limite a moins que Fun des coefficients de stabilite ne s'annule.

2° et 3° II resterait a 6tablir les deux autres propositions 6nonc6es plus haul. On les dernontrerait par une m^thode absolument identique. On introduirait dans le systeme les liaisons

(6) #l=pj, ^2=H2, .-., #n=P;i,

de fagon que la forme dJ6quilibre A devienne stable. On trouverait alors que pour

y=p, dSi=pl, - .., %n~$n

le systeme a liaisons est susceptible d'uue position d'^quilibre stable d6finie par les Equations

(5) 57/M 1 ^ ?7i-hl(p5 Pi? ' * "> l^i)? •'••

Si Ton suppose maintenant les x assujettis a ces Equations (5), rnais que Ton supprime les liaisons (6), la fonclion F ne depend plus que des (3; la figure du systeme ne depend plus que de n variables. On est done ramen£ au cas

62 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

d'un nombre iini de variables, auquel les propositions ononrees s'appliqiieut d'elles-memes.

En r&3um£, il r<5sulte des considerations exposes dans co paragraphs quo les rcSsultals des paragraphes II et HI s'elendent an cas djun sysiAine dont la figure depend d'une infinite^ de variables, et on parliculier au cas d'ime inat.se fluide souinise & dill(5 rentes forces.

V. — Premiere application.

MM. Tail el Thomson onlnnnouccsans demonstration quo, parmi le^ figures d'ciquilibre dont est susceptible une masse fluide anim&s d'un mouvcment de rotation, il y a une figure aniiulaire de revolution.

On peut ddmontrer ce rdsultat en appliquanl les principes exposes dans los trois paragraphes prdcddents.

Je considere une masse fluide liomogone 6gale a M et anim<5e d'une vitcssc de rotation G> autour d?un axe quclconque que je prendrai pour axe des G. Jc» suppose que toutes les molecules de cette masse s'attirent conform6ment ^ la loi de Newton. Je choisirai IQB unites de telie fa^ou que la densit^ du flui'4p soil (Sgale & i, et que 1'atlraction de deux unitds de masse a I'unild de distance soil 6gale & I'unit6 de force,

Je puis assujettir la masse lluide a :aflecter la forme d'une figure de Evolu- tion. Si l'6quilibre a lieu en tenant compto de cetle liaison, il arrivera, en verlu de la nature mfime du probleme, quo l'(5quilibre subsistcra encore quand elle sera supprim6e. Cette liaison ne change pas les conditions d'6quilibre: elle n'influe que sur les conditions de stability dont nous ne nous occuperons pns pour le moment,

Soit R la distance a Faxe du cenlre de gravit6 de la section m^ridienno et ur^ Faire de cette section. On aura

(i) M = '>.*Sr8K.

Le plan des xy sera le plan pcrpendiculaire a 1'axe et passant par ce centre de gravittf. J'assujcttirai encore, pour simplifier un pen les calculs qui vont suivre, la figure de la masse fluide a rester synxHrique par rapport au plan des xy. II est clair que si Pdquilibre a lieu avec cette liaison, il subsistera encore sans cette liaison.

Pour d6finir la section tn^ridienne, je me servirai des coordonnees polairos p

SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 63

et cp, en prenant le p6le au centre de gravite et I'axe polaire dans le plan des xy. Soit

P = /' -!- fj i cos 9 •+• |3o cos 2 9 ~ . . . -h p,i cos /i o H- . . .

1'^quation de la section meridienne.

Ecrivons que 1'aire de cette section est 6gale a TTT^, il viendra

-

(2) ,

Ecrivons que le centre de gravite de cette section est au pole, il viendra

(3) rspi -+- r(pi [d£-t- papsH-- - --H P« fWi-f- - ..)-*- S = o,

S 6lant une s6rie convergente dont les termes sont homogenes et du troisieme degr6 par rapport aux (3.

Pal £ rechercher s'il existe une figure d7equilibre peu differente d'un tore. Je dois done supposer que les (3 sont ires petits par rapport a /*.

Je supposerai de plus que les rapports ^ et par consequent ^ sonttres petits, ainsi que co.

Cela pos6, soil I le moment d'inertie de la masse fluide par rapport ^. Taxe. Soit

W

-j

'"* dm dm'

1'^nergie potentielle due a Fattraction newtonienne (oii dm et dm! sont deux elements quelconques de la masse et A la distance de ces deux ^I^ments).

Soit ~" I T&nergie potentielle due a la force centrifuge. L'6quilibre aura lieu quand la variation premiere de ^expression

sera nulle.

Nous allons encore introduire une liaison nouvelle. Nous supposerons que r0 et par consequent R sont assujettis a conserver des valeurs donn£es. Cette liaison, a la difference des pr^cedentes, change les conditions d'£quilibre. Posons

(-1) P.

64 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

II viendra ('), en tenant compte de (2^,

Dans cette equation, A dSsigne une constant numerique qu'il est inutile de determiner davanlage; B est un ensemble de lermes coiilcnaul r;| en fnotcnr: G est un ensemble de lermes de degre superieur au second par rapport uux ,b; enfin D est un ensemble de termes stimulant avec Ics [3.

Nous donnerons a A la meme valour dans les donations (4) ot (T)). 11 viendra alors

T v «/ I \ 1> ^ ^^ /".K- ">\ ">-'1> I.

v=s 4 "•• MK« ^l) + ^TK -*- ATTu + TT (TT ^ , ) * :v7rii - - »- On trouve aisement

I = ft I R:tp- C/9 -4- 1> " / IV-p:{ COS 9 f/S> 4- 7T / K p* COS- 9 ('/Y -h -~- / ^'M'.OS3 tp f/i.

•^o *MI :>' ^» J * «

Mais les Equations (2) ot (3) peuvent s?6crirr,

/ p- c/o = ^w/'ii? / ?1' ('°';>? '/? = <>, de sorte qu'il resle simplement

I) = 1 T. R / ( p'« — r{ ) c Nous prendrons

cos:-

de sorte que V sera ddsormais d6termin(5.

Comme r0 et R sont provisoirement regardis comma des constantes, le maximum de TJ aura lieu en meme temps que celui de V, de sorte que 1'oqm- libre de notre systeme a liaisons aura lieu clans les mfinies conditions que si V etait la fonction des forces.

Supposons que dans V, on fasse 7*0= o; il viendra

tumulairux.

SUR L'^QUILIBRE DJUNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 65

Si nous faisons encore co = o, il viendra

_, i _, , / i \ G

Si Ton tient compte de liquation (3), il vient

E £tant un ensemble determes du second degre aii moins par rapport a y2, y3, — On peut done £crire

F etant un ensemble de termes du troisieme degre au moins par rapport

& Ya, Is? ----

Cette Equation prouve que si Ton fait co ~ r0=r= o, la fonction V est suscep- tible d'un maximum qui esL atteint quand tous les y s'annulent. Les coefficients de stability sont

Gomme aucun de ces coefficients n'est nul, la forme d'6quilibre correspon- dante ne pourra £tre une forme limite, c'est-a-dire que pour les valeurs tres petites de r0 et de co, le systeme a liaisons consid6r6 sera susceptible d'une forme d'^quilibre, pour laquelle les y auront des valeurs tres petiles. On aura alors pour cette forme d'equilibre

(6) Yo=9"(ro, w),

Qn, 6lant une fonction continue de r0 et de co s'annulant avec ces variables.

II reste a chercher quelle valeur il faut donner a r0 pour que P^quilibre sub- sis le encore quaad on supprime la liaison que nous avions provisoirement introduite, et quand on n'assujettit plus 7*0 et R a avoir des valeurs donn^es.

Supposons qu'on remplace dans U les y par leurs valeurs (6) et R par sa valeur tir6e de liquation (i). Alors U ne sera plus fonction que de r0 et de CD, et Pon aura la condition pour que I76quiiibre subsiste apr£s la suppression de la liaison, en ^crivant

Je dis que pour les valeurs tres petites de co, il y aura toujours une valeur H. p. — vii. 9

66 SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

tres polite de r0 pour laquelle ceite condition (7) sera remplie. Nous pourrons dcrire

» „ , ft Bto:j ^

(8) U = Ar-5'

o

Les lettres A, a et B d4signcnt des consumes ne dependant que de M el C un ensemble de termes tres petits par rapport aux deux premiers quand r0 el o> sont Ires petits. Inutile d'ajouter que les letlres AL, B oi C u'ont plus la mchne signification que dans la premiere partio de cette demonstration.

Soit^ une quantil6 ires petite que uous regarderons connne constaiile et (jni sera telle que

AT 1 A

:>. A .? log — — 3 A s — = o.

Nous allons faire varier r0 depuis zs jusqu'a z6ro. Pour /*0~ %s, les <l«ux pre- miers termes de Pexpression (8) se r6duisont a

2 - A,«- ^ log -,- S,

Pour r0 ==^5 ces deux m£mes lermes se r^duisenl £

. B . a i . _ . a 3 , n 4^ « i ^ o A^log-H~ - A^logj-— 7^'^= £J*'loe^ -hb2.

EnGn pour 7'c:^ o, on a U = -hoo. Dans ces dgaliltfs, Si el Sjj ddsignenl des

termes tres pelits par rapport a s* log •

S'

On a done : pour 7*0 = 25 :

U-, _.*..vb_. _ ^

pour r0 = £ :

pour r0 =; o :

0 , a -= _,» log 3

2A et2*j sont des ensembles de termes Ir&s petits par rapport & ^2log ^? et qui n'influent pas sur le sigixe de Texpression

TT ioo _ , a U _--.,» log-.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 67

Cetle expression est done positive pour r0~ as, negative pour r0 = ,s et posi- tive pour r0 = o. Elle s'annule done deux fois quand rfl varie de 25 a zero; sa

deriv^e -:— doit done s'annuler une fois dans le rn£me intervalle. ar0

C. Q. F. D.

Ainsi pour une valeur donn^e tres petite de <o, on peut trouver un systeme de valeurs de ;^0 et des y qui satisfasse aui conditions d^quilibre, et cela apres suppression de la liaison que j'avais d'abord provisoirement introduite.

11 en r^sulte qu'une masse fluide animde d'un mouvement de rotation est susceptible d'une forme annulaire dj£quilibre; qui d'ailleurs est probablement ins table.

J'ai donn£ une esquisse de la pr^sente demonstration dans le Tome 2 du Bulletin Astronomique (1). J'ai donn^ ^galement dans ce meme Volume une fagon de calculer approiinaativement les 4l6ments de celte figure annulaire. L'analyse que j'ai employee pour determiner ces ^ments presente les plus grandes analogies avec celle dont Mme Kowalevski a fait usage dans ses recherches sur 1'anneau de Saturne.

VI. — Exemples d^quilibres de bifurcation.

Dans les nos 27 et 28 du Livre III de la M£canique celeste, Laplace traite le probleme suivant : Une sphere solide de densil^ p et de rayon c est recouverte d'une couche fluide homogene de densit4 F. Quelle est la figure d'iquilibre de cette couche fluide? Quelle sera a 1'etat d'^quilibre la forme de la surface libre de cette couche ?

Une des formes d'dquilibre est £videmment une sphere concentrique a Is sphere solide, auquel cas I'epaisseur de la couche fluide est uniforme.

On peut se demander s'il y en a d'autres. Pour cela appelons

r = a(i-h ay)

la distance au centre d'un point quelconque de la surface libre. On develop pera y en s£rie de fonctions sph^riques

QEuvres de H. Poincare, ce Tome, p. 17.

68 SUR l^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

et Fequation d^quilibre, coimne Pindique Laplace, page 87 (edition du 1878), s'ecrira

(i)

pourvu toutefois que Ton neglige le carr^ de a.

Quant a P&ifergie potentielle, elle a pour expression

W = .

en n^gligeant le cube de a. A esl une constante et 1'inuSgrale est cHendue a tons les elements Jw de la surface sph£rique (Cf. lifts A.L, Mecanique. celeste, ire, Edition, p. 238). J'ai pos6 pour abr^ger

Gette expression de W montre qu'on a une forme d'dquilibre quand tous les Y* s'annulent, c7est-£-dire quand Pdpuisseur de la couche fluide est umforme. Le« coefficients de stability sont

i — x l~^, ... 3

L'un d'eux s'annulera si Fon a

= 3

v <*tant un entier positif. A chaque valeur de p4 correspond une forme d'£qui- libre parfaitement d6finie qui est la sphere. Ces spheres ferment, une s<Srie lin^aire de figures d'dquilibre rfiolles. Si done Fun des coefficients de slabilit6 s'annule, c'est que la sphere correspondante est une forme d^quilibre dc bifurcation.

Etudions d'un peu plus pres ce qui se passe. Dans le n° 27, Laplace suppose que la couche fluide consid^r<ie est assujettie i\ conserver une figure de Evo- lution autour de Taxe des z. Dans cette hypothese, la fonction spKirique Yv se rtduit au vi6mo polynotne de Legendre, de sorte qu'il n'y a qu'un seul coeffi- cient de stability qui soit 4gal & Pl_ ~1_, On est ainsi ramen<5 an cas le plus simple, celui ou un seul coefficient de stabililite s'annule et oft la forme de bifurcation appartient a deux series lin(5aires de forme d^quilibre rdelles.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 69

Laplace semble dire qu'il ne peut y avoir en g6n6ral qu'une seule forme d'equilibre lorsque Ton n'a pas

et que lorsque cette relation a lieu, il y a deux formes d^quilibre, puisque ay est susceptible de deux valeurs, dont 1'une est donn^e par la supposition dey = o, et dont Pautre est donn^e par la supposition dejy £gal au v16mc poly- nome de Legendre.

Ce passage a du paraitre obscur a plus d'un lecteur. En effet Laplace ayant n4glig£ les puissances sup^rieures de a, ce coefficient n'intervient plus dans liquation d^quilibre (i); il semble done qu'on puisse le choisir arbitrai- rement, et alors on n'aurait plus deux figures d'6quilibre; mais une infinite, qui seraient comprises dans liquation generate

7 = XYV,

A £tant une constante arbitraire et Yv le vi&me polynome de Legendre.

3 II semblerait done que pour les valeurs de pi diflferentes de - ? la sphere

serait la seule figure d'6quilibre possible, et que pour les valeurs de p1 de la

q

forme - , il y aurait une infinite de figures d'dquilibre indifferent. Mais les

2V H-i J ° *

termes de degrd sup6rieur en a emp^chent qu'il en soit ainsi.

Pour les valeurs de p< tres voisines de - > il y a deux figures d'6quilibre :

1'une est une sphere, et 1'autre est tres peu diflferente d'une sphere. Toutes deux se confondent pour

II y a cependant une exception; pour v = i , on trouve p\ = i . La densit^ de la sphere solide etant alors la meme que celle de la couche fluide, le sph^ro'ide est homogene, et l'6quilibre subsistera quand la surface libre, an lieu d'etre une sphere concentrique a la sphere solide, sera une sphere dont le centre sera quelconque (pourvu toutefois que les deux spheres ne se coupent pas).

L'6quilibre est done indifferent. Pour pi=i, la figure formee paries deux spheres concentriques est done encore une figure de bifurcation, mais on se trouve dans un de ces cas exceptionnels que j'ai signals au paragraphe II. Cette figure appartient bien encore a deux series Im&aires de formes d^qui- libre. Mais il n'arrive plus, comme cela a lieu djordinaire, que pour chaque

70 SUR L?£QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

valour pi voisine de i, on irouvc dans chacunc des deux series unc figure d'^quilibre el une seule. Uno seule des deux scirics prfoeulc ce carartero; 1'autre est une s<hie de formes d'&juilibre iadillorenl qui correspondent loutes au cas de pi = i .

Dans le n° 28, Laplace passe au cas oil la figure d'equilibro n'osi, plus assujeltie a etre de revolution. Dans cc cas il y a av + i fonctions spheriques \ ^

liiidairemeut indcpendantes. Done quand pt devient tSgal a - — : — ? il y a av-f- 1 coefficients de stability qui s'annulont a la fois. Done pour les valeurs de pi livs

o

voisincs de.- 3 il y a non pas deux figures dYquilibre pen diflV'routcs A' imp,

sphere, mais im plus grand nombre. II y en a rngme une infinite, si I'on tient compte de ce fait que si I'on a une figure d'equilibre non sphcrique, lYquilibrc subsisle quand on oriente celle figure d'unc inaniore quelconquo.

Je pense que ces remarques suffironl pour oclaircir ce qti'il pouvait y avoir d'obscur dans le texle de Laplace.

VI L — Stability de !'<§qiiilibre relatif-

II est tres facile de trouver les conditions de stability de riquilibrc absolu d^un systeme materiel rapport^ ^ des axes fixes; pour qu'un tel e<iuilibre soil stable, il faut et il suffit que la fonction des forces soil maximum. Mais lo probleme de la stability de Tiquilibre relalif d'un systrmo materiel rapport^ n des axes mobiles est infiniment plus compliqud. Cctto th<5oric u'n jamais, a m{i connaissance, <5t6 convenablernent Lraittie que clans le Treatise on Natures Philosophy de MM. Tail et Thomson. Ellc repose sur la distinclion de la sta- bilitd s^culaire et de la stability ordinaire; j'en vais rnj>peler les prinoipato r^sultats, en donnant sur un point des complements qui me seronl utilos dans la suite.

Supposons que la position du systeme envisag6 par rapport aux. axes mobiles soit d^finie par n variables #*, ^2) . . ,? ^Al, choisics de telle sorte que I'^qui- libre ait lieu pour

Si Ton derange tres peu lesyst(5ime de sa position d'6quilibx*e, les valeurs

#3? • • • ? #* seront tres petites et, si Ton neglige les carrds de ces quantitds, les

Equations diff^renlielles qui en df^finiront les variatioxxs seront Iin6aires.

SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 71

On Irouvera done

m[i, m] ek™t (i = i, 2, . . ., n\ m ~i, 2, . . ,3 2/1).

Dans cette formule les Am sont des constantes d'int£gration, les [z, m] et les Am sont des constantes qu'il est ais6 de d^duire des Equations diff^rentielles du probleme.

Si tous les "km sont purement imaginaires, il y a stabilite. Si tous les Am ont leur partie r^elle nulle ou negative, il y a encore stability (et ce cas peut se presenter si Ton tient compte des resistances passives, telles que la viscosil6 des liquides). Si en.fi n un des Am a sa partie r^elle positive, il y a instability.

Les Am sont donnas par une Equation alg^brique de degr£ 271, de sorte que pour trouver les conditions de stabilite, il suffit de discuter cette Equation en A.

Nous supposerons que toutes les forces r^elles auxquelles le systeme est soumis sont les actions mutuelles de ses parties, de telle sorte que le moment de la quantity demouvement du systeme soit constant. Parmices forces reelles, nous distinguerons les forces independantes de lavitesse qui devront admettre une fonction des forces d^pendantes de la vitesse, cjest-a-dire les resistances passives dues a la viscosit^. Le travail de ces dernteres forces doit toujours ^tre negatif.

Outre les forces r^elles, le systeme sera soumis a deux sortes de forces apparentes : la force centrifuge ordinaire, ind^pendante de la vitesse, et la force centrifuge compos^e, ddpendante de la vitesse; le travail de cette derniere est toujours nul.

Soit T la demi-force vive et U P&nergie potentielle due a toutes les forces independantes de la vitesse, y compris la force centrifuge ordinaire. Si nous n^gligeons, comme il convient de le faire, les puissances sup6rieures des x et si nous supposons que U soit nul dans la position d'^quilibre, T sera une forme

quadratique par rapport aux x\ = -~ et U une forme quadratique par rapport aux Xi-

Nous poserons selon Fusage

dT Pt~dZi'

de sorte que les Equations diff^rentielles s'^criront

dpi __ d\3 ~ ~~~

72 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDS EN ROTATION.

Dans ces Equations les Vj represented Fensemble des lermcs provennnl des forces dependanles de la yilessc. Si Ton neglige les puissances sup6rieures des a?, les V seront Iin6aires par rapport aux />. Les Equations difftfrenlielhvs seront done Jiniaires.

Dans le cas de l'£quilibre absolu, c'cst-a-diro si le mouvement de rotation est nul, il faut et il suffit pour la stability qne la fonction des forces soil mi maximum, c'est-a-dire quo la forme quadratique U soil dc^fime positive.

Cette condition est encore suffisante, ma is elle n'est plus ntfcessaire, s'il y a un mouvement de rotation. Atnsi, pour parler le langage des paragraph's priS- c6dents, si tous les coefficients de stability sont n^gatifs, il y aura ccrlaincmcut stability, m£me dans le cas d'un mouvement de rotation.

Dans un ires grand nombre de problemes, on pout ncSgliger la viscosile; si dans cette hypothese Fiquilibre relalif est slable, il y aura stability ordinaire; si 1'^quilibre reste stable quand on tient compte de la viscosit<5, il y aura stability s^culaire.

II pent y avoir stability ordinaire sans qu'il y ait stabilitd s(Sculaire; il arrive alors, si la viscosit^ est tr£s faible? ce qui est souvcnl le cas, que la figure dn systeme se maintiendra pendant fort longlemps, mais fmira loujours par dtrt*. bouleverscSe.

Pour qu'il y ait stabilitd s^culaire, il faut et il suffit que la forme U soil d^finie positive, c'est-£-dire que tous les coefficients de stability soient n6gatifs.

Les conditions de la stabilit6 ordinaire sont beaucoup plus compliqu^es. Bornons-nous 5. dire que cette stability no pourra jainais avoir lieu si le nombre des coefficients de stability qui sont positifs est impair.

Tels sont les r^sultats tres precis que Ton trouve d6montr6s dans I'Ouvrage de MM. Tait et Thomson. II y a toutefois uno importanlo restriction & faire et sur laquelle je d^sii^erais attirer Fattention, L'argumentation de MM. Tait et Thomson repose tout entiere sur 'cette hypothese que le travail de la visco- sit6 est toujours n^gatif (et non pas nul) pour tous les mouvements possibles. II n'en est pas toujours ainsi.

Supposons par exemple une masse fluide isolcie dans Fespace. Si cette masse se d^place sans se ddformer, ce mouvement ne sera contrari6 par aucune r^sis- tance passive analogue ^ la viscosit4. Le travail de la viscosil^ sera alors nul et non pas n^gatif. Nous devons done, si nous Voulons appliquer le th6or<^me de MM. Tait el Thomson, supposer qu'on a introduit dans le systeme des

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. y3

liaisons telles que la masse fluide ne puisse se deplacer sans se deformer. Si Fon fait cette hypoth^se. la proposition est applicable, et Fon peut dire que les conditions de stability sont les mSmes si Ton tient compte a la fois de la viscosit^ et de la force centrifuge 'compos^e, ou bien si Ton neglige a la fois ces deux forces*

Avant de terminer ce qui concerne cette stabilite deFequilibre relatif, jedois examiner un cas particulier. Supposons qu'a Fetat de F6quilibre relatif, le systeme envisage afFecte une figure de revolution autour de Faxe des z. Pour simplifier Fexposition, nous supposerons qu'a Fetat d'equilibre, toute la matiere du systeme soit uniform^ment repartie sur n circonferences paralleles dont les rayons seront TI, ra, . . ., rn. Soit m une molecule appartenant au parallele de rayon r/. Supposons que Ton d£place cette molecule de telle fagon que sa distance au plan des xy augmente de z^ sa distance a Faxe des z augmente de HI et qu'eniln le diedre du plan mQz avec le plan xQz augmente de — - Si les quantit^s M£, ^ et t>t sont les memes pour toutes les molecules d'une meme parallele, le systeme affectera encore^ apres cette deformation, une figure de revolution. Si Fon suppose de m£me que ~--p = urt , —~~ = v't , -~ = z't

sont les memes pour toutes les molecules d'un meme parallele, la demi-force vive totale du systeme a pour valour

Ai, A2, ,.., An 6tant n constantes que nous regarderons comme donn^es. Enfin F^nergie potentielle U ne dependra que des u et des z, tant que les quantit6s W£, vi et zi conserveront la meme valeur tout le long d'un parallele. Les Equations du mouvement seront alors, en supprimant toute viscosite :

a) designant la vitesse angulaire de rotation due au mouvement d'entrainement. Ces equations sont lineaires en u^ 9i et zi* On y satisfera en posant

Ui = at cos X £5 zt = bi cos X £, 9i = 2 a/ r~ sin X t

/ r~ A

et une condition necessaire pour qu'il y ait stability, c'est que les valeurs de A qui permettent de satisfaire de la sorte a nos Equations differentielles soient toutes reelles. On voit par ces equations que si les conditions initiales du mou-

H. P. — VII. ro

74 SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

vement sonl tellos que MJ, PJ, s^ u'-L , 9\ , sj soicnt les memes tout lo long d'un parallele, il en sera encore dc memo au bout d'un temps quelconque ct le sy steme restera de revolution.

On pourra trouver pour A un certain nombre de valours distinctes que j'appellerai ± A1? ±:A2? ... et I'intigrale gim'rale des Equations proposes en supposant que le systerne reste de revolution sera

(0

il> cos ( ^/' ^ ~h £/J )'

les B^ et les e/t 6tant zp constantes d'intcigration. Mais on doit avoir

T -t- U = G,

C 6tant une constante. II est facile de voir que si U n'cst pas une forme positive, on peut choisir les conditions initiales du mouvement de telle sorte que la constante G ait le signe que Ton veuL On trouve

T = Do ~h S D;, cos a ( )v, t + £,, ) + 2 Vptf cos [( X,, + \t/)t + e,, -I- ey J

-h S DJ;/y COS(Xy, J? X,^ H- S;;— - £,;),

U = EO-+- S E,, C032(X,^ -4- £;,) 4- 23(1^ ou KJ,y ) cos [()VH~ Xf/)if -H e/,r±: £,,].

On a done

Do -h E0 = G3 D;> -4» Ep = o, D/;(7 -h E,,,; = o, D/v 4 - E^v = o.

On trouve d'ailleurs en faisant attention a la nature des formes T et U ct i la forme des Equations (i) :

Do =

aE0 «

SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 76

On tire de la

(2) DO+ Eo- SB^D^-h E,) = SB* AAJO£>-t- £;>)>

et d'autre part

D o H- E o — S B * ( D p H- E^ ) = C .

Lcs coefficients Aj sont essentiellement positifs. Si done les ^ sont tous reels, le second membre de (2) est essentiellement positif. Mais nous avons vu que C peuL devenir ndgatif a moins que la forme U ne soil definie positive. Si done cette forme n'esl pas definie positive (au moins tant que le systeme est assujetti a rester de revolution) il ne peut y avoir stability.

Cette demonstration se trouve, sauf la forme et les notations, dans la Meca- nique celeste de Laplace (Livre IV, Chap. IT, n° 14).

On doit done conclure que si un systeme affecte, a 1'etat d'equilibre relatif, une figure de revolution, cet equilibre ne jouira pas meme de la stabilite ordinaire, si l'6quilibre du systeme n'estpas stable quand onsupprime la force .centrifuge composee et qu'on introduit des liaisons assujettissant le systeme a rester de revolution autour de Vaxe des z. II faut toutefois observer a quelle condition ce theoreme de Laplace est applicable. II pourrait se faire que Tun des A fut nul et alors Je raisonnement precedent tomberait de lui-m£me. 11 pourrait y avoir encore stabilite en ce sens que la figure exterieure du systeme demeurerait toujours tres peu diflerente de la figure primitive; mais les divers paralleles tendraient a tourner avec des vitesses diflferentes.

II reste a examiner si les theoremes etablis dans les paragraphes precedents subsistent encore dans le cas de Fequilibre relatif. Le premier d'entre eux, d'apres lequel, si un des coefficients de stabilite change de signe quand on suit une serie lineaire de figures oVequilibre, la forme correspondante est de bifurcation, subsiste evidemment, car le mouvement de rotation et la force centrifuge composee ne changent pas les conditions d'equilibre et n'orxt d'influence que sur les conditions de stabilite.

Quant au second theoreme, c'est-£-dire au principe de Fechange des stabi- lites, il subsiste encore en ce qui concerne la stabilite seculaire dont les condi- tions ne sont pas non plus changes par la force centrifuge composee.

II subsiste m<§me en ce qui concerne la stabilite ordinaire, mais seulement a la condition qu'un seul des coefficients de stabilite s'annule k la fois. Nous avons vu en effet qu'il ne peut y avoir m^me stabilite ordinaire quand un seul coefficient de stabilite (on plus generalement un nombre impair de ces coeffi- cients) est positif et les autres negatifs.

76 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

VIII. — Fonctions de Lam6.

Apres ces longs prolegoiuenes, j'arrive a Fobjet principal do ce travail.

Nous nous occupons de determiner la forme d'equilibre d'une masse lluido homogene dont toutes les molecules s'allirent d'apres la loi dc Newlon et qui est animee d'un mouvement de rotation uniforiuo autour de Faxe des z. Si nous ne noas occupons que des conditions d'equilibre on laissant de cote la question de stability, nous n'avons pas a tenir conipie de la force centrifuge composee, et nous pouvons traitor le probleme conime s'il s'agissait de I'tiquilibre absolu d'une masse (luide soumise seulement a {'attraction newtonienne et & la forco centrifuge ordinaire.

Nous connnissons deja plusieurs series lin&iiros r<VlIes de figures dY»qui- libre, ce sont les ellipsoi'des de revolution et los ellipsoidcs de Jacobi. La figure de ces ellipsoi'des depend de la vitcsso angulaire de rotation w qui jouora ici le m£me rdle quo jouait le paranietre^ dans les paragraphos II, III el IV.

Nous pouvons, sans restreindre la g<^n6ralit(^ iinposcr a notre masse tluido certaines liaisons, L'axe de revolution que nous avons pris pour axe des ^, pent ^tre regard^ comme fixe. Nous regarderons <5galement comme lixe le centre de gravit6 de la masse. Cela ne suffit pas encore pour notre objet; si Ton se bornait Ici en effel, on pourrait faire tourner Pellipsoi'do de Jacobi d'uu angle quelconque autourde Faxe des s sans que lj<iquilibrecesse. On aurait done pour chaque valeur de w une infinite d^ellipsoi'des a trois axes intSgaux qui satisfe- raient i la question. Afin d?eviter cette circonstanco, qui sans pouvoir causer de veritables diflicultes, nous g^nerait dans rexposilion, nous assujettirons notre syst6mc 5. une liaison de plus, en supposant que le plan des %z soit im des irois plans principaux d'inertie. II resultera de cetle hypothose tjue si tin ellipsoi'de & trois axes inegaux satisfait a la question, ses trois axes d'inertie seront les trois axes de coordonnees, et de plus le m<?me ollipsoido satisfera encore £ la question quand on Faura fait tourner de 90° autour do Faxe des z.

Dans ces conditions, voici les resultats bten connus de la discussion des equations d'equilibre.

Quand co2 croit depuis zero jusqu'a 4^Xo?ocj3, il y a quatre cllipsoidcs qui satisfont a la question, a savoir deux ellipsoides de revolution et deux ellipsoides de Jacobi. Ges deux derniers ne different Fun de Fautre que par leur position, etFon passe de Fun & Fautre par une rotation de 90° autour de Faxe des £.

SUR L'^QUILIBRE D7UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 77

Pour co2 = 4rc x 0,098, les deux ellipsoi'des de Jacob! se confondent entre eux et avec un des deux ellipsoides de revolution que nous appellerons 1'ellipsoide E.

Quand co2 croit de 4^ x 0,0098 a 4^ X 0,1 12, il y a deux ellipsoi'des de revolution qui satisfont a la question.

Pour 002 = 4^x0,112 les deux ellipsoi'des de revolution se confondent en un seul E;.

Pour co2 > 4^ X 0,1 12, il n'y a plus d'ellipsoide satisfaisant a la question.

Pour parler le langage des premiers paragraphes, il y a quatre series Iin6aires de figures r^elles d'equilibre depuis o)2 = o, jusqu'a co2 = 4^x 0,09; il n'y en a plus quc deux depuis o>2 = 471 x 0,09 jusqu'a. co2= 4^ X o;oi i? et il n'y en a plus du tout a partir de cette derniere valeur.

L'ellipsoi'de E7 est une forme liinite puisque, en faisant croitre w2, on voit les deux ellipsoides reels de revolution se confondre avec E' pour devenir ensuite imaginaires.

L'ellipsoide E est a la fois une foraie de bifurcation, (puisqujil appariient a la fois a la s^rie des ellipsoi'des de revolution et a la s^rie des ellipsoi'des de Jacobi et une forme limite, (puisque, en faisant croitre co2, on voit les deux ellipsoides reels de Jacobi se. confondre avec E pour devenir ensuite imaginaires).

Outre les ellipsoides, on sait qu'il existe des figures annulaires d'equiiibre, dont nous avons parie dans le paragraphe V, Nous nous proposons de rechercher s'il existe en outre des series lineaires de figures convexes d'equi- libre non ellipsoidales. Pour cela nous chercherons a reconnaitre si parmi les ellipsoides de revolution et ceux de Jacobi, il y a des formes de bifurcation.

Pour arriver a ce resultat, il faut calculer les coefficients de stabilite de ces ellipsoides et rechercher dans quels cas ils s'annulent. On verra plus loin que ces coefficients dependent des fonctions de Lame, mais nous allons d'abord rappeler les r£sultats si remarquables des travaux de Lame et de Liouville au sujet de ces fonclions.

Nous emploierons dans ce qui va suivre les notations de Liouville dans ses lettres a Brachet (/. Math, pur es et appL, irc serie, t. 11, 1846). Rappelons ces notations,

On donne a Fequation de rellipsoide considere la forme

78 SUR L'£QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

el Ton deSftml la position d'un point sur cet ellipsoide par les deux autres coor-

donates elliptiques /* el v.

Clue fonction de Lam6 d'ordre n est unc fonclion II de I'une des quatre formes

R = p,0 R = ^pa —

(ou P7l d^signe un poljnome de degrc /i en p) el satisfaisaat a liquation diff6rentielle

(B <5tanl ime constante convenablemeul choisic).

Avant d'aller plus loin, indiquons quelles sent les divcrses formes qu'il poul

ulile de dormer a 1'dsquation (i). Nous poserons

pi= v/pa-~^S p2= \/pa— ca;

H = pT0== piTi= p3T2= pipaUoss pp2Ui= ppj Us.

L7 Equation peut alors se me lire sous la forme

(ft V

(I')

Dans celle equation g<Jii<Sralc, a repr^sente Time des variables p, pi ou pa? et V Tune des sept fonc lions R, T ou U. On a d'ailleurs

a = «, il = /i(/n-i) si V = U;

a = 4, II as A(rt-f-i)— -» si V==T; a = G, H = //(/i-t-0— • a si V = U.

D'aulre part

Si par exemple a = p, on oblieni :

p=/>, si V = R,

PSB^ — 2C«. Si V=Ti,

p = %p> si V = U,

Enfin on trouve

K=— B, si V==E,

K=~(B-c2)5 si V=T13

K»-(B-fir), si V = U0, K« — [B-Hn(n4-i)^J, si V = R,

si c-^pi;

Si <T =s pa.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 79

Pour achever de d^finir la fonction R, nous supposerons

r R

lim — =i pour p = 03.

Qn

A chaque fonction R correspondent deux fonctions M et N que Ton obtient en changeant dans R, p, y^p2 — b* et yp2 — c1 en p, y^ — fe2 et y/c2 — JJL^", en ce qui concerne M, et en v, y62 — v2, y c2 — v2 en ce qui concerne N.

A chaque fonction R correspondra en outre une fonction S de p d^finie par liquation

r

J

R2 ^(pi —

et satisfaisant comme R & liquation (i) Liouville pose de plus

P h

1 =

P est la distance du centre de I'ellipsoide au plan tangent. Liouville trouve ainsi les Equations suivantes :

M'N' da' 47TRSMN

, , (2)

2/1-4-1

Dans cette Equation (2) on considere deux points de 1'ellipsoifde ayant pour coordonn^es elliptiques p, p} v et p, f/ et vr; M, N et I sont les fonctions d^fimes plus haul de p. et de v; M', N' et V sont des fonctions correspondantes de p! et de vr; A est la distance des deux points JJL; v et p.A, v(; dc^r est un 6I6ment de la surface de Fellipsoide ayant pour centre le point p/, v' et i'intggrale est 6tendue a tous les ^I^ments d^ de I'ellipsoide.

Liouville trouve encore (3)

ou du est un £l£ment de 1'ellipsoi'de; Z, M, N, Mi et Nd les fonctions d^finies plus haut des coordonn^es p. et v du centre de cet*4l£ment. M et N sont deux fonctions de Lam£ conjugu<ies; M! et N4 sont deux autres fonctions de Lam6 ^galement conjugu^es, mais qui doivent etre diff6rentes des premieres.

Liouville d6montre de plus que la fonction R est constamment positive et croissante quand p varie depuis +c jusqu'a -f-oo. Pour les valeurs p = o,

p =± &, p = ± c, une des deux fonctions R ou ~7~V/(P2 — s'annuler.

So SUR L'frjUILIBRE D^UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

II me reste a parler des Equations qui cl6ierinineni la constanle B. Cherchons quelle est la condition pour que liquation (if) soit satisfaite par un polynome de degre A, (ou A = ;a, si V= R; on n — i si V = T; ou n — 2

Posons a cet effet

Nous prendrons A = 2* si A est pair et A = ir/c -f- 1 si X est impair. Nous trouverons alors en substiiuant cepolynorne a la place de V dans F Equation (i;) et identifiant les deux membres

<I> - (X — su — a) (X — a« -h a — ,'0 — II

/ . p \ (/= o, I, •>,.,., x).

L'dquation (4) est une sorte de relation de recurrence qui pernuit de calculor de proche en proche les coefficients y, en partant des valeurs initiales y<)~ i, y_d = o. On trouve ainsi yi sous la forme d'un polynome de (Iegr6 i en A*. Comme on doit avoir yXH = o3 la valour de A (et par consequent celle de B) se trouve donn6e par une Equation algebrique dc degr^ x -f- K

Nous avons vu plus haul que la fonction R pent prendre Pune des quatre

formes

H = P/i5 H = \/p2— 6MI>w-i, H =

A ces quatre formes correspondront quatre Equations en B qui seront respecti- vement de degr<§

n n n n

H-I, ? et -

7

si n est pair, et de deg*r6

si n est impair, et que j'appellerai pour abrdger (E4), (Ea), (Ea) et (E4). Pour former Tune de ces quatre Equations, on formera liquation (i') de fagon que la fonction V doive ^tre un polynome entier et Ton en d^duira les Equa- tions (4) correspondantes. II est £ remarquer que chacuae de ces qualre Equations peut £tre ainsi construite de trois mani6res diff^rentes. En effet,

SUR I/EQUILIBRE D3UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 8 1

pour chacime de ces quatre formes de la fonction Ron pent ecrire Inequation (i) de trois manieres diff^rentes, selon que Fon choisit pour variable ind£pen- danle p, pi ou p2.

Lame a d4montr$ que ces quatre equations (E) ont toutes leurs racines reelles. Liouville, en rappelant ce resultai, ajoute que la methode de Sturm y aurail conduit plus rapldemeni. Gomme il ne donne pas d'autre detail, il ne sera peut-<Hre pas inutile d'6claircir sa pens^e par quelques explications.

Si Ton revient aux Equations (4)? on verra que le coefficient <D y est toujours negatif el le coefficient 0 toujours positif. Si done on suppose que q soit negatif, les fonctions yj qui sont, comme on Pa vu, des polynomes entiers de degre i en B, jouissent de la propri6t6 caract6ristique des fonctions de Sturm, c'est-a-dire que, quand yz- s'annule, yz-+d et yr-_i sont de signes contraires. On voit de plus que si le coefficient de kl dans y$ est positif, le coefficient de kl+i dans yj+.i sera negatif et r^ciproquement. On peut done appliquer le raison- nement de Sturm a la suite y^+ij yxj • • *? ya? Y1' To* ^ais on peut toujours supposer que q est negatif; il suffit pour cela de prendre pi pour variable ind£- pendante. G7est ainsi que la methode de Sturm est applicable aux Equations qui nous occupent.

D'ailleurSj si q est ii^gatif, et si Ton 6limine les y entre les Equations (4) par le moyen d'un determinant, Fequation (E) ainsi obtenue aura la m£me forme que « liquation en S » que Ton rencontre quand on recherche les axes principaux d'une surface du deuxieme ordre.

Voici une autre demonstration du merne theoreme, que je crois nouvelle et qui p.ourra nous etre utile.

Dans le cas de 62= c2, on a ainsi que Liouville 1'a rnontr^ :

_ _

2/1(2/1 — i)...(n — tn-i) Dans le cas de b~ = o, on a

==s 0? I? 2, ..., 71 t

Ainsi pour 62= c2 les racines des Equations (Ei) et (E4) sont

H. p, — -

82 SUR L'EQUILIBRE D'tWE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

el cellos des equations (Ea) el (E;{) soul

!„(„ -4-!) -tjc-5, [/f(/n- i) --()(«" ..... | //( /i -H i) - (/>./' 4- n" |r- (/'/-4-r ;n.

Ainsi si Toil envisage seuleiueul les equations (Ei) el (E2) par exempli* , les racines de ces deux equa lions seront Louies reelles o,t so separeronl muluel- lemenl.

Kaisons varier 6- d'une inauiere continue depuis sa limile superienre r- jusqu'a sa liinitc mferieure zero, Les raeines dos deux equations (H*) t-t (&>) varieront d'une maniere continue. Pour qifelles eessassent d'elre touicsr^elles, il faudrait que deux racino.s do (Ei ) oti deux racines dc (E2) dcvinssent c^ales. Mais pour que eela ful possibl<1, il iaudrail (Pabord que les racines des deux equations cessassent de se stiparer inultielleineiil. I>our (ju'olles cessassent, de sc s^parer, il faudrail que Tune des raeines cle (Ef) devint eyale a une des racines

de(Ea).

Or je dis que cola esl impossible. Soil en eilel H une racing que nous supposons appartenir a la fois a (E, ) el a (Ea) el onvisagoous r<'u[uatJon (i) correspondante.

Celte Equation admeltra deux in(<f|gralos, 1'une de hi forme P,,, Paulre do la forme \/pB— ca P/^I. Soienl JK el IM c(^s deux integrales. On pout former une 6qualion lineaire du troisicmc ordre, a coeflicienls ralioimels el admellant pour int6grales les Carre's des inlegralcs de (i). Un svsleme fondamenlal d'inlegrales sera R-, RRi el 11^. Celte (iquatioii admeltrail done comme integrates deux poljnomes entiers 11- et RJ essentiellem.ent distinct s.

Mais liquation (i) admot^ oulro I'iuL^gralo 1^, Pinlegrale S dcfinio plus haul

el qui esl tolle que

pour o •= x.

Liquation du Iroisicme ordro donl nous venous d(^ parlor admoltra done comme systeme fondamenlal d'iut<5grolos IV, HS, S-. Si nous convenors de dire qu'une fonction F de p est de degre" /> en p -si le rapport de F a p/1 tend vors uiie limite finie qoand p croJt inddfinimont, il resalie de ce qni pr6c^de quo les irois integrales lla, RS el S'J sont respectivemeni de degr<£ an, ~ i et — (2/1 + 2). Une inteyrale quelconque de liquation du iroisieme ordre sera une combinaison lineaire de It3, RS et S2; elle sera done, a moins d'dlro identi- quement nulle, de Fan des irois degrt^s an, •- i et — (2 /&•+•:>,).

Or R-^-rRj qui est une de ces integrates, rie peut dire ni de degre — i r ni de degr6 — (2/1 + 2) puisque c^esl un polyaome entier; ni de degr6 2/z, puis<[ue

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 83

le premier terme de R~ est p~n de meme que le premier lerme cle R.I, de sorte que les lermes de degr^ 2,71 disparaissent dans R* — R^, II faul done que

R2— R|=o ou R = Ki,

ce qui est impossible et contraire aux hypotheses faites plus haut. Nous devons done conclure que les racines des equations (E,) et (E2) sont toutes reelles el se separent mutuellement, quelle que soil la valeur de b~ .

Cela va nous permettre de distinguer les unes des aulres les diverses fonc lions R.

Nous ecrirons R^J- L'lndice sup6rieur A1 sera £gal a i , 2, 3 ou 4 selon que R sera de la forme

ou v/p— £*P,,_,, ou vP2— £a/i-i

L'indice n indiquera le degr£ de la fonclion R, enlin Findice i devra etre choisi de telle sorte que R/^j se r^duise a

i

A(p2 — ca)2D *-»-"( p2 — c2)« pour 62= c-,

A d^signant un coefficient constant dont on trouvera plus haut la valeur, et le signe D*"+/1 exprimant qu'on doit effectuer i 4- n differentiations par rapport a p. On voit aisement d'apres ce qui precede que la fonction RC7£] est parfaitement d^terminee. Pour 62== o on trouve

ouy a une valeur que nous allons determiner.

On voit aisement que i est pair si k = i ou 4 61 impair si k = 2 ou 3 ; tandis que j est de meme parit^ ,que 71, si k = i ou 2 et de parit^ difKrente si A* = 3 ou 4- De plus, pour une me*me valeur de A*, les valeurs de j devronl croitre quand celles de i d^croitront. On a done i

si k == i ou 3 : i-\-j*=m\ si k = 2 ou 4 • i -hj = n -*~i*

Nous pouvons d^duire de la. quelques propri6tes des fonctions R. Combien Fequation

(5) , R^/=o

[ou le premier membre est suppos6 d^barrasse du facteur radical ^py • — b*j \/p- — c'1 et \/(p2 — &2) (p2 — c2), qu'il pourrait contenir, ainsi que du facteur p

84 SUR L'EQUIUBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

s'il y a Ueu] aura-t-elle de racines reelios et comment ces racines seronl-ellos distribu6es? Nous prendrons pour inconnues p- el uon pas p, Kaisous d'abonl #2— c~. On verra que liquation admettra I racines egales a c'2 el "n racines comprises entre z4ro el c1.

Si nous faisons ensuite i-^o, on verra que liquation admeUra £' racines egales a z6ro et t)1 comprises entre z^ro el c1.

Les valeurs des nombres £, yj, % el r/ nous seronl donnces par le tableau suivant, ou la pi^emiere colonne donne la valeur de /.', la seeonde le r<isle de n a 2 et les <[uatre autres les valeurs des quatre nombres : / - - :>,;? n — / — - :ro,

I , O. C), O, O, O

I , I , O, I , I , O

<J. , o, I , i , •> , o

«, I, I, O, I, O

'i , o , i , i , i , i

3, i, f; o, o, i •I? l>> '>: <>j 1- I

4, i, •>.? i, •>, i-

Ge tableau monlre que Ton a toujours

Quyarrive-L-il maintenant pour les valeurs d<^ b* comprises entre ztfro ot r2 ? Pour une pareille valeur, liquation ne peut avoir de racine mulliplo, car si

pour une certaine valeur de p, 1\ et -^- s'annuluient u la fois, le coefficient

^ dans liquation (r) devrait dtre nul ('jgalcment, ce qui cutrainorail

2 =s " OU

D'autre part aucune des racines de liquation ne peut £tre <Jgale a zero, a />a ou a c2; car si Ton forme liquation d<5terminante de liquation (i) pour les points p=±6, p=H^c, on trouve que les racines de cette 6quation ddtermi-

nante sont z4ro et r- D'ailleurs, comma on a suppos^ qu'on enlevait dans

liquation (5) le facleur p s'il s;y trouvait, il ne pourrait arriver qu'H y res tat ensuite, que s'il y entrait au carre avunt qu'on ne Teut enlev6. Or nous venons de voir que cela ne peut etre.

On doit done conclure que lorsque b'2 ddcroit depuis c2 jusqu^ a<Sro, liquation (5) aura g4 racines r^elles entre z£ro et 62 etTii racines rcielles entre 62 et c2 et que ces deux nombres £t et y]4 demeureront invariables.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 85

Pour 62 = c2, il arrivera que les YH racines comprises entre b~ etc- devien- dront egales a c'-; on pourrait supposer aussi qu'un certain nombre de racines d'abord imaginaires, ou non comprises entre b- et c- tendent aussi vers c2 quand b- lend vers c-, de sorte qu'on aura

Quant aux £< racines comprises entre zero et 62, elles resteront comprises enLre z6ro et c2; on pourrait supposer toutefois que quelques-unes d'entre elles se r^duisent a c2 ; on aura done

?i^-n.

Supposons maintenant que b- tende vers zero; il arrivera que les \\ racines et peut-£tre d'autres tendront vers zero, et que les vji racines resteront comprises entre zero et c2, quelques-unes d'entre elles pouvant se r£duire a zero. On aura done

Mais si d'autre part on observe que Ton a

C — ,J f — .r

•B — rl ; ^ — ri5

on verra qu'on doit avoir constamment

II en resulto que liquation (5) a toujours toutes ses racines r^elles et comprises entre z6ro et c- ; quant au nombre de racines comprises entre z£ro et 6~, ou entre 62 et c-, il est donn6 par le tableau pr^c^dent.

Si par exemple n est pair, liquation R^j=o aura ~ racines comprises

entre zero et b- et f comprises entre b- et c- (1).

Je ne veux pas, pour le moment du moms, m'^tendre plus longtemps sur les propri^tes generates des fonctions de Lame; je me bornerai a rappeler les deux rosultats suivants qui sont bien connus.

En premier lieu; B est toujours compris entre zero et n(n -j- i)c-.

En second lieu, une fonction quelconque de /jt et de v, pour les valeurs de v comprises entre zero et b- et pour celles de p. comprises entre b- et c-, pent

(l) Ges resuhats ont cte clonnes par M. Klein, qui y a ct6 conduit par des considerations un peu differentes.

8(> SUR I/EQUIUBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

ou jours otrc d^veloppee en une sme de la forme iA/M/Nn ou A, Msigiio tin coefficient constant, pendant quo M, el iN,- ddsignenl deux functions de Lame conjugates de \j. et de v.

IX. — Determination des coefficients de stability. .

Considdrons un ellipsoYdc ilaide el homogone en tiquilibre sous raclion de raltraclion ncwloniennc et de la force centrifuge. Supposous (\\i\\ subisse une deformation inlinimonl petite, sans que son volume change, el cherchons a 6valuer le travail des forces qui agissenl sur Ie corps pendant celle deformation infiniment petite. Soil

1'ellipsoide onvisagci el soienl, p. (M,v les coordonnee.s olliptiques qui la position d'un point sur celle surface. Soil £ la dislanco de rollipsimle- \\ la surface d6formee compile sur la norniah1 a l'elli|)soide; soil <f In resullanle de 1'altractiun et <le la force centrifuge en un point de la surface de 1'ellipsoTdo a 1'tHal d'(>quilil)re; cetu^ r^sullanlo esl comme on sail normal** a rellipsoidt*. Soil enfin d*f> un Element quelcoatjut^ de la surface de 1'ellipsoide. Pendant la d6formation, une molecule queJooncpie [>eul etre regard Ac ooinine souiuise a Lrois forces : a Tallraclion de 1'ellipsoide suppose lixe, a I'nllractioxi du hourreK»l infinitesimal foraui par la diir^ronco en Ire la surface d6fornHuv el rollipsoide, <»l ^ la force centrifuge- Si nous considerons un point mal/kriel (|uelconqu(l de masse i et que nous appelions A sa distance a im (Element c[uelcon([ue dm1 de la masse de Pellipsoi'de et r vsa distance a Taxe des 5; si nous posons (!)

.. r (fni <oa /--

v==j _^H. „_,

la variation de V mesurera pr^cis6ment le travail des forces agissaut sur co point materiel ^l dues a Fattraction de I'ellipso'ide et a la force centrifuge, en laissani de c6tc5 1'atlraction du bourrelel dont nous venons dc parlor.

11 r^sulle des hypotheses faites, (pie sur toute la surface de Pellipsoide, la fonction V a une valeur constante que nous appellerons V0. Si an lieu d'un

(:) On rcrnarquera que je dosigne pur w la vitess^ de rotation et par dw un clement de I'cllfpsol'dc; par jx une des coordounees elliptiqucs ct par dy< un £l('kn)ftiit <lu hourrelct. Tl n'cn peut risulter aucunc confusion, puisijue lea difTercntielles fie co et d<k jx nVntrcnt pus <lanH l<i

SUR L'gQUILIBRE D?UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 87

point situ6 sur Fellipsoide, nous envLageons un point M infiniment voisin de cette surface? nous abaisserons du point M sur Fellipsoide une normale MM' de longueur infiniment petite ^. La valeur de la fonction g au point M sera pr^ci- s6ment aussi la valeur de la d6riv6e de la fonction V, estim^e suivant la normale. On aura done au point M, en n^gligeant les tnfiniment petits du deuxieme ordre

V = V0-*A.

Quelle est maintenant Fenergie potenlielle Lolale de la masse fluide deforni6e ? L'^nergie due a Fattraction seule aura pour expression - f m m <> dm et dm1 <Hant deux £l£ments quelconques de la masse fluide et A la dislan.ce deces deux £l£menls. L'^nergie due a la force centrifuge sera / — r2dm, r etant la

«y 2

distance de T^ldment dm a Taxe des 3. Le double de F^nergie potentielle totale

sera done

--- rrdmrfm' r „ , ,

2 W = // ^ / to2 r*- rim .

J'appellerai W0 la valeur de W dans Ffiial d'equilibre, cjest-a-dire quand la figure de la masse fluide se r^duit a Fellipsoide.

Mais nous devons distinguer parmi les 616ments de la masse fluide, les ^l^ments de Fellipsoide que j'appellerai dm et dm1, et les 6l6ments du bourrelet que j'appellerai dp et dp', Parmi ces elements, il y en aura den£gatifs> puisque, le volume ne changeani pas pendant la deformation, on doit avoir

On a done

/dm dm! r —±-^J

ce qui peut s^crire

ou puisque

CO2 r9-

•-/"

on aura

1 dp dy!

~A~~

88 SUR L^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDK EN ROTATION.

Considerons un 6l<*menl queleonque rfr,» de la surface de FeUipsoide. Mcnons par les divers points de cet element des normales a IVItipsoide. Nous aurons ainsi determine une sortc de cjlindre inliniiuenl dciliti el, dans lequel nous dticouperons une tranche infmimenl mince on le coupunt par deux plans situ&s a des distances X et X + rfX du centre do l'61<Smenl rfw et parallels au plan de cet element. Si A est compris enlre zoro et £, la tranche ainsi clocoupoe dans ce cylindre appartiendra a notre bourrelel; ce sera un do nos elements dp., do sorte que nous pourrons ecrire

Nous 6crirons de mSme

Nous aurons done pour irouver Fexpression do VV a calculer les deuxinl^gralos

/V tO\ ^f> ct // • -T ~ * ,// A

Mais A e"lant tres petit, on a rommc on a vu ce qui donne pour la premiere inl6grale

/r w-j &<**>.

Le premier terme est mil; le second peut s'o'crire

.»/•*» /* ?*'-

— / ^'<:Ao / A r//, on bitiii / A'' ^/<o.

H reste i\ calculer la seconde inlegrale. Nous remarquerous quo X et X; (itant tres petits, on peut considdrer A comrne rcpresentanl non pas la distance des elements dp et dp!t iuais celle des (Ucments d<* et r/a>; qui on dill'dro tres peu* A est alors ind<Spendant de X ot de A' et Ton peut ecrire

'^L , ff*»£L fa C rfx-- ff'<'»<wy

11 reste done fmalement

Avant d'aller plus loin, il faut calculer ^, La force g peut dtre d^coinposie en trois composantes dirig6es suivant les trois axes des #, des y et des z* La composante parall^le ^. 1'axe des x par exemple, est parallfelo i\ la coordonnde x du point d'application. De mfime pour les denx autres composantes.

SUR L'EQUILIBRE D^UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION, 89

Si done on appelle a, (3, y les cosinus directeurs de la normale et £, kf , kff trois constanleSj on aura

Mais liquation de I'ellipsoi'de est

—

"P "*" ps

ce qui donne

= - P S = v p 2r' H-8r,

/ '•-

V/^^cp2-^)2

On a done

Si nous reprenons les nolations du paragraphs pr6c6dent el que nous ecrivions

p

il viendra

K. 4lanl une nouvelle constante ne dependant que de p, b et c.

II resle a determiner cette constante. Pour cela il suffit de calculer Fexpressioii de g a I'extrthnile de Taxe des z\ dans ce cas, g se r^duit a ^attraction de Pellipsoide et peut s'6crire

W2 du

f h

J* l/[pa— c2-

2 — 62)w2](p2 — ea-h<

D'ailleurs on trouve ais^ment

/ f

11 vient donc; par une transformation simple de I'intigrale.

La fonction \/pa — c2 est une fonciion de Lame que nous appellerons Rt ; c'est

d'ailleurs la fonction que nous avions d£sign6e dans le paragraphe pr^c^dent

par la notation plus compliquee : R^i- Nous chercherons & ^viler les triples

H. p. — VII. ,12

()o SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDS EN ROTATION,

indices toutes les fois qu'il ne seront pas neeessaires el nous raugwous los fonclions de Lam6 dans un ordre quelconqne; nous les appellerous l\\, RS, . . . , R/, .... Nous poserons done

It, = y'^ -- - C'1'.

Si d'aulre part, nous envisageons la fonction SA conjugu^e de Hl7 nous aurons

(It

^"- r" ^ \ t ''-•- ^- ^< /:> * ^''^ On a done a rextromii^ de I'axe des z :

et comine nous avons vu plus haul quo ffl esl une coruslantc>t nous conclure que gl conserve cette valour sur toulo la surface de Pellipsoide.

r

DtSveloppons maintenant J qui esL une fonction de /JL ot de v on tuie serit*

convergenle de la forme suivante : J£Ar-M,-N<-, A/ <Hant des conslantes et M/, \/ des fonctions de Lame. Cela est lonjours possible, eonune nous Tavotis dit a la fin du paragraphc prScddeni. Nous aurons done

et de mdme On tire de 1&

Oil

^ "

1'1 rfw M * N*

ou

yh^?rfo)=2^wHiSi/'/M'sN^ci>"!'2A/A

Si Pon observe que

AM/NfMjfcN/:rfo>=so, il reste

= |»RiSi21A* fmfWftto.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

On troave cPautre part

f'(£ ,/

_

- - A,

les deux indices / et A1 pouvanl etre 4gaux ou diflerents. Mais on a

ri'wkwkdur ^ ^I^SAM^,

J & •_> n -h i

On a done

Si i esl different de k, on aura

II i*este done

^^' AM,Nf

A L J L l

2 /I -h I

On arrive done finalement a 1'expression suivanle pour W :

72, est bien entendu le degre de la fonclion de Lame R/.

Nous pouvons consid^rer la forme de la surfaee deformee comme d6finie par les coefficients Aj. Les coefficients de stability seront alors

Pour qu'un des ellipsoides puisse ^tre une forme de bifurcation, il faut quo Fun de ces coefficients s'annule, c'est-a-dire que Fon ait

3 2 n •+- 1

pour 1'une des fonctions R/.

D'apres cela, il y a un des coefficients qui est toujours nul, c'est celui qui correspond a i = i. Cela etait aisd a prdvoir. En efFet on peut d^placer Fellip- so'ide parallelement a lui-m^me et parallelement a Faxe de revolution sans changer F^fcat d'6quilibre. Si Fon imprime ainsia Fellipsoide un mouvement de translation infiniment petit et parallele a Faxe des ^, et si Fon appelle ? la distance des deux ellipsoides infiniment voisins co*npt6e suivant la normale, on a en n<3gligeant les infiniment petits da deuxieme ordre :

i<>2 SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDK EN ROTATION.

\.i etanl uiie eonslante. Commo les deux ellipsoidos .soul des surfaces dYiqui- libro, il faul done hien que le coefficient do stability qui correspond a /- i s'annule. V a-t-il des cas ou d'atilres coefficients do slabilile s'annulent ? rVst ce que nous cxaminerons dans Ics paragraphes suivanls.

On pent arriver a liquation (i) par mie aulre voio nn pen plus simple el que j'aurnls meme pr<StVkree si j<» no mi; n'^(krvais d'oxaminor plus loin la (juesl ion de stability.

Supposons que Ton ajoulc a I'aUraclion nfiwLonicune el a la force contrifngo qui agissent sur la masse iluide, des forces perlurlmlrices quelcouquos, inais tres petiles. La masse iluide prcrxdra alors nnc forme d't^quilibre ires pen diiV^- renie de I'ellipsoi'de. (lello forme sera unique si aucim d<»s cocfiicii^nts do stabilite ne s'unnule; elle sera inal deU»nnin(r'tj en general, si Tun do cos coeffi- cients est nul.

Nous reprondrons Jes monies notations que plus haul el nous definirons la surface d'equilibrc defonnee par la valour de t que nous dov(»lopperons en serie coinme prec^demmenL :

les A/ (ilanl clos coefficienls inHiitajenl pelil-s qu'il s'agit de determiner pour definir la nouvelle forme d'equilibrc. Soil coinnio plus haul V le potenliel du a I'aUraclion de Pellipsoide cl a la force <%enlrifu^e, r le potonliel du a 1'atlrac- llon du bourrelet, vf le polentiel du aux forces perturbalrices. On devra avoir sur toulc la nouvelle surface d'equilibrc :

1 -+• /= const.

Mais on a, puisquo Z. cst infiniment pelit,

V = V« et de plus

A eUnt la distance d'un point quelconque du bourrelet uu point envisage de la nouvelle surface libre; mais comme £ est infmimenl petit, on pent remplacer ces deux points par leurs projections sur rellipsoide. ^ est alors la distance de deux points de Pellipsoide el Pon a

-s-

A -""^ .,„ + ,

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 93

Nous pouvons 6crire d'ailleurs

les B, £tant des coefficients tres petits que Ton. peul regarder conime donnes. L'equation (2) pourra alors s'6crire, et remplagant g et £ par leurs valeurs,

- T R' s^2 A*M'N<+ ^Z ^^^^2BzM^^const-

Nous identifierons dans les deux membres les coefficients de M$N, et il viendra

Ces equations ditermmeroiit completement les coefficients Az et par conse- quent la nouvelle forme d'^quilibre, a moins qu'on n'ait

C;est done la aussi la condition pour que Tun des coefficients de stabilite s'annule.

X. — Discussion de Fequation fondamentale.

Nous avons maintenant a rechercher si liquation

«> Hr-^-"'

ou p2 est 1'inconnue admet des racines comprises entre + c/2 et +00. Parlons d'abord de liquation plus generate

p -

n et m 6tant les degres des fonctions B./ et R^. Le premier membre F tend vers z^ro quand p croit ind^finiment, car les fonctions R#S/f et RiS^ sont de degr6 — i en p, comme on Fa vu dans le paragraphe pr^c^dent. Si R^ et R,- con- tiennent en facteur \/p2 — r2, F s'annule encore pour p2 = c2. On a d'ailleurs

_ R| R/£ 2/n-hi RJ

Les racines de liquation

(3) =o

94 SUE L'fiQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

qui soul superieures a c~ sent les mouios quo cellos dc rcqualion (:><); on ellel R/t- pent s'ammler pour p- = c~, mais jamais pour p- 1> r- .

Si nous voulons soparer les racinos de IMqualion (3), il sufiil d'appliquor lo theoreme de Rolle el d'ecrire quo la derivee du |>roini<»r inembre do (3) ost nulle. On oblienl ainsi ['equation

r/p ('.>.//A H- 1 )Ii/. Ujr. c/^ ( '* // H~ I ) H/ <•'//• I- 1 ) U, //;^ l\'/.

Mais on-a, d'apres la deiinilion memo des fonclions S :

// S/; - -i ,/ s/ - -i

II reste done

ee qui exprime quo le rapport ^ passe par uu iiiaxinuini ou miuiauini, car S ne peut s'annuler.

Nous pouvons done ononeer le resultat suivuul :

Les racinos de liquation (2) siip^riewres & r-, en l«iss«nl dc col6 la racmoru si elle exisle, soal s^par^es par les racines de IVjqualiou

ee qui peut encore s'ecriro

(4) ou

Clierchoiis mamlonanl a separer les racines de liquation (4) ellc-nuhno, pour cela annuloas la dfirivio du premier membre par rapport a e. 11 viendra

ou

Mais liquation (i) du paragraphe V11I peut s'cScrire

R; en ee qui concerne K/ ct

SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 96

en ce qui concerne R/f. Liquation (5) devient ainsi, en supprimant le facteur RI-RA qui ne peut s'annuler pour les valeurs superieures a c- :

(<>) [fl(fl -HI) — ni(m -f-i)]p2— 13, -j- B/w = o.

II est clair qu'une pareiile Equation ne peut avoir qu'une racine sup^rieure a c1. Liquation (4) aura done au plus deux racines egales on superieures a cj, et liquation (2) aura au plus irois racines superieures a c- (sans y compreiidre la racine c1 si elle existe, mais en y eomprenant la racine co ).

Si liquation (4) n'a aucune racine sup^rieure a c~} le rapport ^ estloujourb croissant ou toujours d^croissant quand pa croit de c- a Finfini.

Supposons par exemple qu'il soit toujours croissant. On aura alors

d R* „ , d F

^•R|>OJ dou ,7pR|<0' tj< Fexpression ^ est done toujours d^croissante etcomme elle tend vers z^ro pour

p = oo , elle doit toujours etre positive. On a done F > o. Revenons en particulier a 1'equation ( \ ) et supposons

H/, = K, = vV— c«,

Supposons d'abord que Rt contienno en facteur y/p2 — c-, nous pourrons derive

cp etant un facteur qui pourra etre p, p \p2 — ^" ou VPa — *a et ^i ^tant un polynome entier en p'J. Liquation P/=o n'est autre que Fequation (5) du paragraphe VIII, d£barrass£e des facteurs que nous so mines convenus de lui enlever. Nous avons vu que cette 6quation a toutes ses racines reelles et

qu'elles sont comprises entre z4ro et c2. Liquation -^ g2 = o aura done aussi

Loutes ses racines reelles et comprises entre z£ro et c2; d'ou il r^sulte que, p- croissant de ca a +co, P; sera constamment croissant. II en est de m£ine de p

_ r>

et de \/p2 — 62 et par consequent de 9 et de -^ = 9 P* . II en r^sulte que si R/

contient y/pa — c2 en facteur, 1'^quation (i) n'a aucune racine sup^rieure a c- et que son premier membre est toujours positif.

Supposons maintenant que R; ne contienne pas yp2 — c2 en facteur. Quand

p est tres grand, on peut regarder - eomme un infiniment petit du premier ordre.

> SUR L'EQUILIBRE D?UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

On a alors en n<%ligeant les infiniiuenl petits du douxieme ordre : i ,, , RiSi K/S,

Lc premier membre do (i) esl done loujours positif, a moms quo //- no soil 6gal a i *

Pour pa=c'-', UtS, s'aimulc el par hypotheso Il,-S£- no s'anuulo pas; le premier membro <jsl done nrtgalif. /Vinsi la substitution d(» r/2-—r- el d'une valour de p- positive et Ires grando domic dos resultais d(^ signc ronirairo; lo nombre dos racino.s d<> I'iquation ( i ) suporicures a r- el finios sora done impair.

Or nous avous vu que le nombro dcs racine.s suporiourtis n r- olaii au plus tigal a 3, en j comprcnaal la racine p-^.-co; si Ton ne ticnl pas compte do celtc racine, le nombre des racincs sera au plus tfgal a 2; (vl corn me il doit etni impair; il fautqu'il soit 6gal 4 i .

Nous avons laiss^ cle cdtti le cas ou /* = i auquel correspondent deux fouc- tions l\ij a savoir

II esL ais6 de voir quo quand p2 croil depuis r3 jusqu'u +oo7 les rapporls

•• . ...... - fit -• ""..' ..... r^-rrr^ vnni. loniours en d(ioroissanl. On doil done conclure crue

^/p2_c, ^2_c>:! •» i

liquation ( i ) n'a aucune racine finie et plus grnnde quo r'J, et quo son premier inembre est ton jours n^gaiif.

Voici done en resum<£ cpiel est le nombre des racinos de liquation ( i ) finios et sup^rieures a ca :

KZ divisible par \f p- — e'2; pas de racine; premier rnembre positif; R* ^o/i divisible par \/p3 — c2; n > i ; zm# racine;

R.i non divisible par \/p* — c2; n = i; /?a^ «fe racine; premier rnembre nggatif.

Revenons maintenant au cas gehi^ral, et. cessons de supposer que R*-. = HI ; qu'arrive-t-il alors de liquation (2) ?

Soit d'abord 7z>m, et supposons qne 11/ soit divisible par y^'-— 'r^ ot que R/c ne le soit pas, On voit alors tout de suite que F est positif pour p'J= #a el pour p2 tres grand etposilif. Liquation (a) nja done pas de racine finie et

SUR L'EQUILIBRE D*UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 97

r>

sup^rieure a c2, ou bien elle en a deux. Quanl au rapporl ~? il est nul pour

p2 = c2 et infiai pour p2 = oo ; il est done croissant pour les valeurs de p2 tres peu superieures a c2 et pour les valeurs tres grandes. Done dans les cas ou F^quatioii (2) a deux racines, il doit en £tre de meme de liquation (4) et le

rapport ^ doit presenter un maximum et un minimum.

Supposons maintenant que R/c soit divisible par y/p2 — c2 sans que R, le soit. Alors pour p2 = c3, on a

F<o;

pour p2 positif et tres grand,

F>o;

il j a done un nombre impair de racines, et comme ce nombre ne peut d^passer 2, il faut qu'il soit £gal a r.

Supposons maintenant que R< et R/t soienl tous deux divisibles par \/pa — c- ou ne le soient ni Fun ni Fautre; on aura alors pour p2 = c2 :

II est possible que cette mdrne Equation (4) puisse avoir une autre racine sup£- rieure a c2, mais elle n'en peut avoir qujune. Pour qu'elle en ait une, il faut d'abord que liquation (6) en ait une, c'est-a-dire que

(7) B*— Bji> [n(n-Hi) — m(m + i)}c*.

Gette condition est d'ailleurs suffisante. Si celte condition est remplie liqua- tion (2) pourra avoir une racine. Dans le cas contraire elle n'en aura aucune. D'ailleurs il en est encore de mdme si, la condition (7) n'^tant pas remplie, R? est divisible par y/p2 — c- sans que RA- le soit.

Dans le cas de n=m^ qu'il nous reste a examiner, liquation (6) qui se

r6duit a

Bz— B^=o

ne peut avoir aucune racine. Liquation (4^ ne peut done en avoir qu'une et liquation (2) en aura ^galement une au plus.

Si de plus R/ et R# sont tous deux divisibles par y/p2 — c2, ou ne le sont ni Fun ni Fautre, le premier membre de (4) s'annule pour p2=c2 et ne peut avoir d'autre racine. Liquation (2) n'en a done aucune.

Si Rf est divisible par \/p2 — c2 et que R* ne le soit pas, il peut y avoir z^ro

T>

ou une racine. II n'y en a pas si ~ est plus petit que i pour p positif et tres H. P, — VII. i3

gS SUR L'£QWLIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

grand. II y en a une dans le cas conlraire; car alors pour les valours ires grandes de p, F est nigatif, et pour p3 = c~, on voit ais^meut quo F est positif. En r6sum£ on a

s n > m

si n > m si n >• m

si /i > m si n = w si /i = /7i si 72. = /n

si n = m

R^ div. R* non div. o ou 2 racines;

Rf non div. R* div. i racine;

Rf div. R* div. o ou i raciue;

R^ non div. R* non, div. o ou i racine;

R/ div. FU- non div. o cm i raciue;

R; non div, R* div. o ou i racine;

Rj div. R^ div. o racine;

Rt non div. R^ non div. o racine.

XL — Ellipsoxdes de revolution,

Parmi les ellipsoides aplatis de revolution qui soni des figures d'6quilibre de notrc masse fluide, y en a~t-il qui sont des figures de bifurcalion ?

Pour 6tudier ces ellipsoides nous prendrons pour variable ind^pendante \/e'-* — ca que nous appellerons k & 1'exemple de Liouville el non plus pa? afin d?6viter Findice 2, Nous prendrons c pour unit<5 de longueur, de telle sorte que

c2 = i , On aura alors

L

/+w(Aa-4-i«, ou i+=an ou TI-+-I,

A 6tant une constante et D un indice de d6rivation par rapport A A\ A une m^me fonclion

(i)

correspondent en g<5n£ral deux fonctions de Lam6 distincies, 4 savoir :

R«-;,n et RJU.s_;iB si /w-4- n est pair

et

R;l_;)n et RJ^i-/|n si / -H n est impair.

A chaque fonction (i) correspondent done deux coefficienls de stabilitd que j'appellerai pour abr^ger By,rt et Gjtn. II y a exception quand /~o. Daxxs ce cas en effet, ^ une fonction (i) ne correspond qu'une seule fonction de Lam6 R^ si n est pair et R^ si n est impair, et par consequent ne correspond qu'un seul coefficient de stability

Quand on fait croilre w depuis z6ro jusqu^ une certaine valeur o>0, on trouve comme figures d76quilibre deux ellipsoides de revolution qui sc con-

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATIDN. 99

fondent pour w = co0 et disparaissent pour o> > &30. A chaque valeur de co < co0 correspondent done deux valeurs de k et il est ais6 de voir que pour co = o, ces deux valeurs sont A* = o et A1 =00. Pour &> = oo0, ces deux valeurs se confondent en une seule, k&. II y a done deux series lin^aires 2 et 27 de formes dj£quilibre reelles, la s^rie S comprenant les ellipsoides tels que k<^ko, et la s6rie 2', les ellipsoides tels que k > AV

L'ellipsoide k = kQ est une forme limite.

Si Fon fait varier A" depuis z6ro jusqu'a +00, on voit 1'ellipsoide, d'abord infiniment aplati, se rapprocher ensuite ind^finiment de la sphere. En m£me temps <*> croit d'abord de z4ro a oo0 et ddcroit ensuite de oo0 a z^ro.

Si en suivant la s^rie 2 ou la s6rie 2', on voit un des coefficients de stability changer de signe; Fellipsoi'de correspondant sera une forme de bifurcation. Les deux coefficients de stability By)7l et Cjtn que je viens de d^finir sont loujours ^gaux entre eux. Quelle est la condition pour que ces coefficients s'annulent ? Liquation By)7l= o n'est autre que liquation (i ) du paragraphe pr^c^dent. D'apres la discussion de ce paragraphe, on voit que le coefficient Bjtn s'annulera pour une certaine valeur de k: sij + n est pair et si n est plus grand que i, et ne s'annulera jamais si cette condition n'est pas remplie. Cette m£me discussion montre que ce coefficient change de signe en s'annulant. Done Pellipsoide correspondant est de bifurcation.

Ainsi a tout syst&me de nombres/ et n tels que (2) j==n (mod2); /i > i

correspond une valeur de k qui annule deux coefficients de stabilit^ et par consequent un ellipsoide de bifurcation.

II y a exception pour le systeme

/ = o, n = 2.

L'ellipsoide correspondant est Pellipsoide co = cooj k = k$ dont nous ayons parU plus haut. G'est une forme limite et non une forme de bifurcation. Un autre systeme int&ressant est le suivant :

j = 2, n == 2.

L'ellipsoi'de correspondant est celui qui appartient a la fois a la s6rie des ellip- soides de revolution et a cclle des ellipsoides de Jacobi.

Soient deux nombres j et n quelconques, satisfaisant aux conditions (2); soit K^n la valeur de k qui annule le coefficient B7> et fi/>;i la valeur de w cor- respondante.

loo SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

Faisons mainienanl

0) 5= il/\fl -H 6,

£ ckant une quantil6 infinimoni petite; a colic valour do o> correspomlronl dour formes d'cquilibre, uu ellipsoido de revolution E el une figure <I> Iros pun diUVi- rente. Eludions de plus pres cciie figure *. Nous dMinirons cello figure do la fagon suivante : menons a 1'ollipsoi'de E une norinale quolconque. Nous deii- nirons le point de i'ellipsoide t[ui osl le pied do cello normale par doux coor- donn6es 9 et /jt; 9 sera Fangle formed par le plan qui passe parlo point, considtfre et I'axe des s avec le plan des xz, et f*. sera la deuxieme coordonn^e elliplique comprise enlre i2 = o el rta= i. Je prendrai sur celle norinale une longueur ^. La position d'un point dans 1'ospace sera ainsi dclinio par les irois coordonneos ^, fx el cp, et c'est dans ce sysleme de coordonn<Ses cjue je vais c^crire Fdqualion de la figure <!>» Au systeme de nouibres / et n correspondent doux fonctions do Lame§ ainsi qu'on 1'a vu :

on .1 -jtn

auxquelles il faul adjoindre leurs conjugudes :

«'* ^-t M» OH

,« et M /,+ !-.

3 AJ |V a on 4

Les deux, fonciions M sonl (igales entre elles et s'obiionnent on reinpln^aut dans la fonclion R correspondanle k par \j \ — p.'J? et les deux fonctions N sont igales, Fune k cosycp, Pautre a sin/cp.

Liquation de la figure <&pourra alors sj(5crire

en n^gligeant les infiniment pelits du dcuxicme ordro (e (Hont du prouner ordre). Dans celle Equation I a le mfimo sens que dans le paragraphe VIII; MI, N-i, M2 et N2 sont les fonctions (3); A^ et Aa sonl doux coiistnntes infmi- raent pelites du premier ordre el donl le rapport esl arbilrairc. Posons

6 6tant une constaate infiniment petile d^pendanle do e, el A (Stanluneconstanle arbilraire; il viendra, en. remplaganl M4 , Ni3 Ma et N*2 par leurs valours :

(4) C

Ja fonclion M subtenant cornrne je 1'ai dit plus haul,

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 101

Si Pequation (4) ^tait liquation exacte de la figure <t>, cette Equation prou- verait que la figure $ jouirait des symetries suivantes :

i° Siy m: o, la figure & serait de revolution autour de Paxe des z*

2° Si j n'est pas nul, la figure <£ ne changerait pas quand on la ferait tourner

autour de Paxe des z d'un angle ~; elle admettrait y plans de sym^trie passant par Paxe des xr, de fagon que Pangle di&dre de deux de ces plans de sym6trie cons^cutifs soil ~*

3° Commey + /2- est toujours pair, le plan des xy serait aussi un plan de sym^trie.

4° Enfin si j est pair, Paxe des z serait un axe de sym<krie, et Porigine un centre de sym^trie.

Mais Pdquation (4) n'est qu'une Equation approximative de la figure <£. Pour P^tablir, nous avons neglig6 les infiniment petits du deuxieme ordre; de sorte qu'on peut se demander si ces diverses symetries subsisteront encore quand on £tudiera liquation exacte de la figure $ et qu'on tiendra compte des termes d'ordre superieur. La r^ponse a cette question doit elre affirmative.

Pour s'en assurer, voici quel artifice on doit employer, Supposons qu'on introduise dans le systeme des liaisons auxiliaires et qu'on assujettisse la masse fluide £ presenter les symetries que nous venons d'enum6rer. Je dis que, meme avec ces liaisons suppldmentaires, Pellipsoide qui correspond a la valeur K/57l de k et a la valeur Qjtfl de co sera encore une forme de bifurcation.

En effet nous avons vu au paragraphe IX qu'une surface tres peu diffSrente de cet ellipsoide peut etre d^finie par la distance £ d'un point de cette surface a rellipsoid^ (comptee sur la normale a Pellipsoide) et que cette distance £ elle-meme est donn6e en fonction des coordonn^es elliptiques sous la forme

d'une s^rie convergente

C = ^SA^M/,N^)

Mp et Np 6tant des fonctions de Lame, de telle sorte que la surface en question sera determine par la connaissance des coefficients A^. Nons avons vu ensuite dans le m^me paragraphe que P^nergie potentielle totale W pouvait s'^crire, en n^gligeant les cubes des coefficients Ap :

(5) W=WO-*-SA*B/,,

les Bp ^tant les coefficients de stabilite; de plus, avons-nous dit, pour que

I02 SUR L'£QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

rellipsoide soil une figure de bifurcation, il fiuil el il suflit quo l'im cles B7,

s'annule,

Qu'arrive-t-il maintenanl quand on inlroduil des liaisons clans lo sjsicme?

Supposons d'abord qu'oa assujeuisso la masse fluide & dire do Evolution autour de 1'axe des js et symdlriquo par rapporl au plan dcs xy. Comment ccs conditions s'exprimeront-elles analytiquement? Elles significronl quo Urns Ics coefficients A, sont assujettis a elre nuls, sauf ceux qui correspondent a une fonction Mp donl les nombres caractdristiques j\ et «, salisfassent a la

condition

( mod 2 ).

Que faui-il maintenant pour quo I'ellipsoi'de soit dc bifurcation quand on envisage Wquilibre d'une masse iluide assujetlie a ccs liaisons? II suffit quo dans 1'exprossion (5), le coefficient B,, do Fun des termes A* qui ne soat pas assujettis a ^tre nuls, change de signe.

Nous avons supposd que pour 1'cllipsoi'de k =Ky>, le coefficient de stability d^fini par les deux nombres j el n s*aunulaii; si nous avons

j s=s o, n 22 o ( mod 2 )

ce coefficient de stability est im de ceux qui multiplient un terme A^; non assujetti par les liaisons £ <Hre nul.

Si done on envisage I'gquilibre du systfeme soumis aux liaisons que nous venons d'&aum6rer, PellipsoMe A*= K0,n sera encore une figure de bifurcation. Pour la valeur de

oa aura done deux formes d'£quilibre du systftme ^ liaisons, a savoir un ellipsoide et une figure $' tr^s peu diffdrente.

La figure*', ^ cause des liaisons mfimes auxqucllos elle est suppos6e assu- jettie, sera de revolution, et sym6trique par rapport au plan cles xy. Mais par suite de la nature mdme de ces liaisons, la figure *r qui est en dquilibre en tenant compte des liaisons, restera en ^quilibre quand on les supprimera, Ge ne peut done 6tre que la figure $ elle-mfime qui se trouve ainsi 6tre de r6volu- tion quand j est nul.

Supposoas raaintenaat quey ne soit pas nul.

Assujettissons le syst&me aux liaisons suivaates; la masse devra admettre pour plans de synitoie le plaa des oyet les j plaas :

X =tg (A«o, i, a, ..-,/ — i),

SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. io3

Ces conditions traduites analytiquement signifient que tous les coefficients Ap sont assujeLtis a etre nuls, sauf ceux qui correspondent a une fonction Mp dont les nombres caract^ristiquesy'i et n± sadsfont a la condition

/i ==o (mody), jt-t-rii^o (mod 2).

De plus nous avons vu que parmi les fonctions N, les unes sont de la forme cosy 9 et les autres de la forme sinycp; les coefficients de ces dernieres seront tous assujettis a etre nuls.

Pour que Fellipsoide soil de bifurcation qnand on considere F6quilibre d'une masse soumise a ces liaisons, il faut et il suffit qu'on voie s'annuler Fun des coefficients de stabilitc Ep qui raultiplie un terme A* que les liaisons n'assu- jeltissent pas a elre nul.

Pour Pellipsoide k = Kyj/z, les deux coefficients de stabilite d^finis par les deux nombres y et n s'annulent; or 1'un d'entre eux multiplie un terme A^ que les liaisons n'obligent pas a s'annuler.

Done, m£me dans le systeme a liaisons, Fellipsoide Kj>n sera une forme de bifurcation. Si Ton fait

on aura deux formes d'^quilibre du systeme £ liaisons, a savoir un ellipsoide et une figure <&' tres peu diff^rente.

La figure <&', en vertu de ses liaisons memes, aura j + r plans de sym6trie. Mais ces liaisons sont de telle nature que 1'equilibre de la figure *' subsistera quand on les supprimera. La figure *' n'est done autre chose que la figure & elle-meme qui doit ainsi avoir y H- i plans de sym^trie.

Je vais maintenant expliquer pourquoi les liaisons, dont il vient dyetre question, sont telles que si une masse fluide est en dquilibre en tenant comple de ces liaisons, l'6quilibre subsist era encore quand on les supprimera.

Pour simplifier Imposition, je supposerai un seul plan de sym^trie P qui pourra £tre, soit le plan des xy^ soil un plan passant par Taxe des z.

La condition d'^quilibre de la masse fluide suppos^e libre, c'est que le potentiel V, du a Faction de toutes les forces qui agissent sur une molecule du fluide, soit constant sur toute la surface libre.

Si Ton assujettit la masse fluide a £tre symetrique par rapport au plan P, cette condition se trouve un peu modifi^e. Soient V le potentiel en un point quelconque de la surface libre, V7 le potentiel en un autre point de cette

io4 SUE L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION.

surface, symetriquc du premier par rapport au plan P; la nouvdle condition

d'dquilibre sera

V-4-V'=coiist.

Supposons que celte condition soit remplie et que la masse fluido so tronve en equilibre sous Faction des forces exlcSrieures ot des liaisons, ol soil par consequent symcHrique par rapport au plan P. Si les forces exterieure.s se reduisent a 1'allraction cl a la force centrifuge, elles serout elles-mtfnies symtf- triques par rapport au plan P ot Ton aura par consequent V = V, dVm Ton deduit V = coast. Gette condition montre que Fequilibre subsistoni encore quand on supprimera les liaisons* c. Q F. i>.

II rdsulte de cette discussion, que les sjmetries que nous avions 616 conduit a attribuer a la surface *, en partant de I* equation (4) qui n'otait qu'approxi- mative, lui appartiennent rigoureusement, mcme quaud on tient compte des termes d'ordre superieur qui entrent dans son equation exacte.

Nous allons nous occuper maintenant de deinontrer mi r6sultat qui nous sera utile dans la suite.

Si k est positif et tr&s grand, Pellipsoi'de est tres voisin do la sphore et tons les coefficients de stabilise sonl nigalifs. Si i'on fait d^croitre A*, il arrivera un moment oia un ou deux de ces coefficients s'annuleronl. Quel sera le premier de ces coefficients qui changera ainsi de signe? Je dis que ce sera celui qui correspond aux nombres

n «

Appeloixs en effet Rala fonction deLam^ correspondante et S2 sa coujugu^e. Nous aurons

Soit maintenant Rt- une autre fonclion de Lame et S$ sa conjuguee. Nous aurons

A 6 tan t une constante. Nous supposerons quey+n est pair, sans qiioi le coefficient correspondant 4 R/ ne s'annulerait jamais. II s'agit de demontrer que la racine Ka,a de liquation

__ __ _

est plus grande que la racine K/,n de 1' Equation

RiSt R/Sf ^^ 3 a n -+- 1

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. IO5

i? c T> c

Pour cela il suffit de demonlrer que Pexpression -4~= -- l—L- est Loujours

T>

positive, ou bien encore quc le quotient ~ est toujours croissant.

Nous distinguerons trois cas. i° Supposons d'abord j > i . II Yient alors

A est une constante posiiive; (A"2+ i) '2 se r^duit a i ou est loujours croissant; enfin le dernier facteur D^/l(^c2-H i)n est un polynome entier en A- dont tous les coefficients sont posilifs et est par consequent toujours croissant.

c. Q. F. D.

2° Supposons maintenant/ — o; n = 2/>.

II vient alors

La d^riv^e logarithmique du premier membre est done

Je veux d^montrer qu'elle est positive, c'est-a-dire que

F = (yc2-

ou D2^ et D2^+1 designent les deriv^es d'ordre zp elzp + i de (&2+ 2)^. On trouve

d'ou

D2/^=V— n - 2/?>ay • - j^gl(2p — q)l(2q — 27?) !

Nous e"crirons pour abr^ger

et il viendra

F s=

Le coefficient de ^2^-2^+1 dans F sera done

— %p — • 2) A^-h (2 £ — 2/? -+- 2

Pour que F soit toujours positif, il suffit que tous ces coefficients soient H. P. — VIL i4

I06 SUR L'^QUILIBRE D'UNE MASSE FLU1DE EN ROTATION.

positifs. Or cornme tons les A7 sont positifs, il nc peat y avoir de douto quo s; 2^ — 2jt? — 2 esl n^gatif, c'ost-u-'diro pour q - ~ p. Le coefficient de F devienf. alors

2A/M,i— 14 A,,.

SI nous ocrivons qu'il est posilif, il viendra

A/H.l > A;,

ou bien

:>./>! (?/> 4- a) ! ^ »/j> 1 a^gj (^H.i)!(/>-.i)!2! ^ > !/! ou bien encore

ou en (in

ce qui est Evident; done F esl loujours positif. c. (v>.

3° On pent supposer enfin

II viendra

!L* — A

""

on en ddsignant simplement par D;<r Lx A-16mo ddnv^e de

dont la d^riv^e logarithmique est

Da/'-**

pour qu'eile soil positive, il faut quo

F = (A-^-H i) D^-w— /c D«/"^» > <>. Or on a

d'ou

D^ -5 A,A-^^ « V — - f^H-QI^! _ ^ -6J^!(2jt?^i— gr)i(a^ — 2jy — 2)!

(? ^j* •+•!>? H-2> •-, 2J04-I).

II vient done

F sas ( A"2 ~h i ) S A^( 2 q — a/> — 2 ) A:*'/-*/'-' — A- S A^ **?-*/>-*.

SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. 107

Le coefficient de A2?-2''-1 dans F sera done

Ap( 2 # — 2/> — 3 ) -f- A^-K ( 2 £ — 2/> ).

Ce coefficient ne pourrait e"tre negatif que si 1'on avait

2— • 2>— 3

ce qui ne pent avoir lieu que pour q = p~{- i. Le coefficient de F devient alors

2 A.^p-j_2 $ •"•/?-*- 1 •

Ecrivons que ce coefficient est positif, il viendra

o (2/> -f-l)!(2jPH-2)! (2JP-J-1)! (2JPH-4) 1

^

ou

OU

_3

qui est v6rifiee m£me pour p = i.

Done F est encore positif. c. Q. F. D.

Nous devons concluro de celte discussion que si 1'on fait d^croitre A" depuis -)—oo jusqu'a zero, de fagon que 1'ellipsoide d'abord Ires voisin d'une sphere s'aplatisse de plus en plus, on rencontrera une infinite d'ellipsoldes qui appar- tiendront a d'autres series lineaires de figures d^quilibre. Le premier que Pon rencontrera ainsi sera celui qui appartient a la s6rie des ellipsoides de Jacobi et qui correspond au cas de/ = n = 2,

XII. — Ellipsoides de Jacobi.

Nous allons rechercher maintenant si parmi les ellipsoides de Jacobi il y a des formes d'equilibre de bifurcation.

Nous poserons comme dans le paragraphe precedent

p2=A-2-hc2, c2=i

et nous ferons varier 62 depuis z^ro jusqu*a c2= i .

A chaque valeur de &3 correspondra une valeur de A:, que j'appellerai H et

I0s SUR L'EQUILIBRE D'UNE MASSE FLUJDE EN ROTATION.

qui sera tclle quo Pellipsoide dont les axes sont A*, yk*+ c- -~ />- el

soil ini ellipsoi'dc do Jacobi.

Voyons quello relation lie 6~ a II.

Parmi les f one lions do Lame du deuxieme ordre, je eilerai la suivanle : p ^/p2 — £?, Nous 1'appellcrons Ru; en ellet si Pon fail //-rr^o, clle »se ivduit & £3-f-i ; c'est done bieu uno des deux fond ions quo nous avons appelres Ho dans le paragraphs precedent el qui so reduisaient loules deux a A*- -I- i pour 6a = o; nous r&serverons la nolalion Ro a la seule fonction p\ p- -—/>-, a laquelle correspondronluno fonction Sn el deux functions

Mt> = [x vV8 — ^2» ^r'-i — v V^" -- v2.

Si Ton fail lourner 1'ellipsoide E d'un angle infiiiiiucnl petit autour de 1'axc dcs XT, de fagon a lui fairo occuper la position E'; puis quc Ton appelle ? la distance des deux ellipsoides E et K; compile normaleineul a 1'uu d'oux, on

trouvera aisdmenl

£ = Aa/iMaNa,

Aa (Slant une constante infmiment petite.

Mais si 1'ellipsoide E est un ollipsoide de Jacobi, son cSquilibre sera indif- fdrent et ne sera pas alt6r6 quand on fera lourner la figure <Fuu angle quelconque autour de 1'axe des z. L'<Squilibrc subsislera quand on fera varior A«j d'une maniere quelconque. Done le coefficient de slal)ilil6 corrcspondanl dovra nul, cyest-c\-dirc que Ton devra avoir

(„

Telle est liquation qui lie II & b~ et qui exprime que 1'ellipsoide E esl un ellipsoi'de de Jacobi.

Gela montre qu'a chaquo valeur de #2 correspond une valour de II et une seule. Lorsque 6'J tend vers c2, cetle valeur de II lend vers zcko. On sail en eflel que quand co tend vers z6ro, le rapport du petit axe au moyen, dans Fellipsoide de Jacobi, tend vers -Funitfi et que le rapport du petit axe au grand lend vers ziro.

Pour qu'un ellipsoi'de de Jacobi soit de bifurcation, il faut qu'un autre de ses coefficients de stability s?annule; ce qui exige que 1'on ait

/9N Hi S*

(2) _»..

n ^taut 1'ordre de la fonction R,-.

SUR L^QUILIBRE D^UNE MASSE FLUIDE EN ROTATION. log

Liquation

3 271 -f- I

aura une racine que j'appellerai K,:, pourvu que Rj ne soit pas divisible par yp2 — c2.

Les Equations (2) se reduiront done a H~K^. Pour &2— o, on revient au cas du paragraphe precedent, et Ton a vu a la fin de ce paragraphe que H>K^ car la plus grande des valeurs de k pour lesquelles un coefficient de stability s'annulait etait pr6cis6ment K2,2 c'est-a-dire H.

Voyons maintenant ce qui se passe pour 62 = c2 = i .

La fonction Rt* se reduit a A(p2 — i)'-DA+"(p2 — i);i, h etant un entier plus

l petit que n. En particulier RI se reduit a (p2 — i)~. II r4sulte de la que si A

n'est pas mil, liquation (3) est satisfaite pour p2 = i. Par consequent pour b*— c2, K?: devient nul et 6gal a H.

Au contraire si h = o, Rj se reduit a AD7l(p2 — i)71 et Kj est positif et par consequent plus grand que H.

Si done h est nul, liquation H = Kj est satisfaite au moms une fois, et certainement un nombre impair de fois.

Nous pouvons discuter egalement 1'equation

(4)

-t-i

T>

Nous devons rechercher d'abord dans quels cas le rapport ~ est toujours

croissant,

Si nous laissons de cdte comme il convient les fonctions Rj divisibles par \/p2 — c2, la fonction R* peut aflfecter quatre formes difF^rentes, a savoir

si n = 2p, et

si 7i = 2/> + i. Les a sont des quantit^s positives comprises entre z&ro et c2 et que je suppose rang^es dans Fordre d£eroissant.

Tous les a 4tant plus petits que c2, tous les facteurs p2 — a seront croissants quand p2 croitra de c2 a + oo. De m6me tous les a <kant positifs, le rapport

— — * sera coastammcnt croissant. Enfin le rapport ~== sera croissant si a

P r v/P2— b*

est plus grand que 62.

Dans les qualre cas possibles, nous pourrons 6crire

HS

Tt -.0

1\ / P a I / « \ /„ \

75-=- (P™ *